问:什么是函数的连续性?如何证明函数的连续性?
- 答:若函数f(x)在定义域内一点x0满足x趋于x0时的f(x)的极限=f(x0),则称f(x)在该点连续。至于证明函数的连续性,就是使用这个定义证明。其实,真正用到连续性时,都是由那几个基本函数的连续性推导出来的,基本上不需要什么证明。
问:讨论二元函数的连续性,需要详细过程,谢谢
- 答:以一例说明
设:u(x,y) = ax^m + bxy + cy^n
∂u/∂x = amx^(m-1) + by :对x求偏导时把y看成是常数,对y时把x看成常数;
∂^2u/∂x^2 = am(m-1)x^(m-2)
∂^2u/∂x∂y = b
∂u/∂y = bx + cny^(n-1)
∂^2u/∂y^2 = cn(n-1)y^(n-2)
若求u(x,y)的微分:
du = ∂u/∂x dx + ∂u/∂y dy
= [amx^(m-1) + by]dx + [bx + cny^(n-1)]dy
其它高阶偏导类似方法进行。
问:多元微分函数连续性问题
- 答:可微可以推出偏导数存在和多元函数的连续性,有界的偏导数可以推出连续,连续的偏导数可以推出可微。除此之外其他不能互推。
问:多元函数在某点处的连续性如何证明
- 答:没有专门的一个公式或定理,但是我可以总结几个方法给你看看.
如果一个多元函数是连续的,那么一般的做法是这样:通过夹逼法,h(x)<f(x)<g(x),而h(x)与 g(x)的极限又是相等的,然后通过对比f(x)在某一点的函数值,最后得出结论是否相等.而一般的,这种题目往往是探求在(0,0)这一点的连续性,而又往往左边h(x)是0,右边g(x)也是趋于零的.而g(x)趋于零通常又是运用基本不等式对它进行放缩最后求得极限.
如果一个多元函数是不连续的,这种最开心了,为什么这么说呢,一般的你可以先设定变量间的关系,比如y = kx,y = kx^2等等,最后发现极限与k相关,k取不同的值极限也取不同的值,所以极限是不存在的. - 答:证明该点的极限值等于函数值。
- 答:用定义证明。
或者,例如,可微则连续。
问:怎样理解多元函数,连续与偏导存在的关系,偏导连续之间的关系
- 答:不知道了 平时很少玩手机了
- 答:20 怎样理解多元函数,连续与偏导存在的关系,偏导连续之间的关系
- 答:口诀:
偏导连续一定可微,偏导存在不一定连续,连续不一定偏导存在,可微不一定偏导连续
我倾向于用图像理解
偏导连续一定可微:可以理解成有一个n维的坐标系,既然所有的维上,函数都是可偏导且连续的,那么整体上也是可微的。
偏导存在不一定连续:整体上的连续不代表在每个维度上都是可偏导的
连续不一定偏导存在:同理如2
可微不一定偏导连续:可微证明整体是连续的,并且一定有偏导,但是无法说明在每个维度上都是可偏导的。