一、无网格方法在偏微分方程数值解中的应用研究（论文文献综述）
张驰[1]（2021）在《两流区模型的径向基无网格方法研究》文中研究指明土壤水环境污染防治和土壤盐碱化一直是世界各国广泛关注的问题,近几十年来,国内外学者对其进行了大量的研究。专家们通过建立不同的数学模型来对土壤溶质迁移过程进行了具体描述。其中尤以两流区模型的应用最为广泛,但由于两流区模型控制方程独特的耦合形式及复杂的边界条件,使得较难求出其解析解,因此发展相应的数值方法来求解此类方程具有十分重要的意义。基于以上背景,本文主要将径向基无网格方法用于求解一维、二维整数阶两流区模型和时间分数阶两流区模型。本文的主要内容分为以下几部分:（1）介绍了整数阶两流区模型和时间分数阶两流区模型的研究背景、研究意义以及研究现状;梳理及阐述了径向基无网格方法的发展历程及研究现状,并介绍了径向基函数插值的基础知识;给出了分数阶微积分的一些基础理论知识。（2）针对溶质运移过程中的一维和二维整数阶两流区模型,首先进行了径向基无网格算法的格式推导及数值模拟。通过分析计算结果与形状参数、空间节点数和时间步长之间的关系,得出影响本文算法数值计算精度的因素不唯一。然后将本文的数值计算结果与有限差分法进行了对比,结果表明本文算法的数值计算精度优于有限差分法。从而得出本文算法具有形式简单,数值精度高等优点。（3）对于一维和二维时间分数阶两流区模型的控制方程,推导出了 Caputo导数意义下的一维、二维时间分数阶两流区模型控制方程的离散格式。再将本文算法与有限差分法进行比较,数值算例结果表明相对于有限差分法本文算法在数值计算精度方面更有优势。
班亭亭[2]（2021）在《一类对流扩散方程（组）的两种数值解法研究》文中研究指明对流扩散方程（组）在力学、物理和环境科学等领域中都有应用,它可以描述质量、传热过程、污染物在水中的分布等一些扩散现象.由于对流扩散方程（组）较难求得解析解,而传统的数值方法在求解对流扩散方程（组）的过程中已经展示了它们的优势,因此数值方法的研究对求解对流扩散方程（组）仍然具有一定意义.本文主要研究两种具有高精度的数值方法,即Fourier谱方法和重心Lagrange插值配点法,通过不同初始条件和边界条件对4个（1+1）维对流扩散方程、1个（1+1）维分数阶对流扩散方程、2个（2+1）维对流扩散方程和2个（2+1）维分数阶扩散方程组进行数值模拟,通过与其它几种数值方法比较和数值结果说明了这两种方法具有较高的精度,说明了Fourier谱方法和重心Lagrange插值配点法的有效性.特别地,本文使用Fourier谱方法模拟了（2+1）维分数阶扩散方程组,通过给出不同的初始条件和参数得到了若干斑图,证明了数值结果的可靠性,说明了Fourier谱方法不仅对整数阶对流扩散方程有效,而且对分数阶扩散方程也有良好的数值结果.其次,将无网格方法应用到了实际模型中,即用无网格方法求解一维氮气置换模型,通过分析和比较可以得到对氮气浓度分布影响的因素,知道不同直径材料的管线会对氮气浓度分布产生影响,而且在不同时间、不同湍流扩散系数的影响下会使氮气浓度分布发生变化,这在实际应用中具有一定意义,为以后的研究垫定了基础.
乔海丽[3]（2021）在《分数阶微分方程的高精度高效算法》文中提出分数阶微分方程广泛应用于流体力学、湍流和粘弹性力学、反常扩散、多孔介质中的分形和色散、信号处理与系统识别、电磁波等领域,分数阶算子的非局部性对现实世界中具有记忆与遗传性质的材料给出了更好的解释,更利于对各类复杂力学与物理行为进行建模。但分数阶微分方程大多数情况下无法解析地求解,只有极少数可以通过Mittag-Leffler函数、H-函数与Wright等复杂函数表示其解析解,而且这些函数计算比较困难。因此,许多学者致力于研究其数值解,常见的数值求解方法包含有限差分方法、有限元方法和谱方法。此外,还有少数采用有限体积元、无网格等方法求解。另外,分数阶不同于传统的整数阶导数,其具有非局部性,使得求解分数阶方程的数值格式通常需要比较大的存储空间和计算量,针对此问题大家提出了快速求解方案,如:快速傅里叶变换、指数和近似（SOE）、本征正交分解技术（POD）等。然而,对于时间分数阶方程的快速高效求解方案研究比较少,本文将对时间分数阶微分方程的高精度高效求解方法进行研究。本文,首先,对具有Caputo-Fabrizio导数的一维、二维分数阶Cattaneo方程,建立Crank-Nicolson型的紧致有限差分格式,并对数值格式进行理论分析,另外,考虑直接数值求解需要高计算成本,我们基于数值格式相邻时间层的递归关系提出一种快速求解方法,有效减少计算量和存储量。其次,考虑基于Caputo-Fabrizio导数的时间分布阶偏微分方程,开发了两种无条件稳定的格式,并对其进行理论分析,证明了在离散的L2范数意义下两格式都是无条件稳定的,它们的收敛速度分别为O（τ2+h2+Δα2）和O（τ2+h4+Δα4）,其中Δα,h和τ分别表示分布阶,空间和时间剖分步长。第三,考虑分数阶方程的解通常具有弱奇异性,我们对分数阶非线性常微分方程和线性偏微分方程的等价积分方程在三种非均匀网格上进行求解,这些非均匀网格根据正整数幂求和公式设置,并对数值格式进行误差估计。第四,具有Caputo导数的时间分数阶扩散方程解具有弱奇异性,我们考虑在三种非均匀网格上对分数阶导数采用L2-1σ格式进行离散,并对数值格式进行了稳定性分析和误差估计。第五,考虑具有Caputo分数阶导数的一维、二维时间分数阶扩散方程,为避免在均匀网格上求解导致数值格式降阶,我们对时间分数阶导数在标准分层网格上采用L1-2格式进行离散,并对分数阶导数离散格式进行局部截断误差估计,此外,对数值格式提出了降阶外推算法,有效减少计算量。第六,考虑有限差分方法和有限元等方法需要先构造网格,不便于求解复杂区域问题,我们对具有Caputo分数阶导数的二维时间分数阶对流扩散方程,导出有限差分/RBF无网格算法,并利用RBF降阶外推算法减少计算量。具体地:第一章,首先对分数阶微积分进行概要介绍,给出几个分数阶导数的定义。然后,对本文研究内容进行简单介绍。第二章,对具有无奇异核的时间分数阶导数的Cattaneo方程提出了快速紧致有限差分方法。我们首先对一维问题做研究,方程中的空间导数项采用紧致差分算子离散,对Caputo-Fabrizio分数阶导数采用Crank-Nicolson近似,从而导出Cattaneo方程的数值离散格式。然后,对离散格式进行稳定性分析和误差估计,证明了所提出的紧致有限差分格式具有四阶空间精度和二阶时间精度。随后,我们将一维问题推广到二维问题,推导出高阶格式,并给出相应的理论分析。另外,由于分数阶导数是历史相关、非局部的,因此需要巨大的存储空间和计算成本,这意味着极高的工作量消耗,尤其是对于长时间的仿真。我们对时间导数的离散格式进行观察分析,发现相邻时间层数值格式间存在递归关系,基于此我们给出了 Caputo-Fabrizio分数导数的有效快速求解方案,使得计算量由O（MN2）降为O（MN）,存储量由O（MN）减少为O（M）。最后,通过一些数值实验,验证了理论分析的正确性和快速算法的可行性。第三章,针对一维空间中具有Caputo-Fabrizio分数阶导数的时间分布阶偏微分方程,开发了两种有效的有限差分格式。一种对积分项采用复合梯形公式近似,对空间导数项采用二阶中心差商近似;另一种对积分项采用复合辛普森公式近似,空间导数项采用紧致差分算子近似。对以上两种格式进行稳定性分析和误差估计,证明这两种格式在离散的L2范数意义下都是无条件稳定的,它们的收敛速度分别为O（τ2+h2+Δα2）和O（τ2+h4+Δα4）,其中Δα、h和τ分别是分布阶、空间和时间剖分步长。最后,通过数值算例验证理论分析结果。第四章,考虑具有Caputo导数的分数阶非线性常微分方程和线性反应扩散方程。通常分数阶微分方程的解在初始时刻具有弱奇异性,若采用有限差分方法在均匀网格上求解,所得格式难以获得最优收敛阶。文章[1]将分数阶非线性常微分方程转化为等价积分方程,对时间区域进行非均匀剖分,积分项分别采用复合矩形公式、复合梯形公式近似,另外,考虑非线性方程采用上述两种方法计算时比较复杂,引入了预测校正格式,理论分析及数值实验均表明方程解的正则性对收敛阶存在影响。我们在其基础上进行拓展,根据k次幂公式,针对k=4,5我们提出另外两种非均匀网格,对分数阶非线性常微分方程的等价积分形式在新提出的格式上采用上述方法离散,理论分析证明在新提出的网格上离散问题可以得到更好的收敛阶。另外,我们考虑了具有弱奇异解的分数阶线性反应扩散方程,将其转化为等价积分方程,采用复合梯形公式在三种非均匀网格上逼近积分项,空间导数在均匀网格上采用有限差分方法离散,并对数值格式进行了收敛性分析,证明了对不同的非均匀网格我们均可获得最优收敛阶,最后,通过几个数值实验验证理论结果,并对在三种网格上计算的结果进行比较分析。第五章,考虑具有Caputo分数阶导数的时间分数阶扩散方程。考虑到该类方程解在初始时刻具有奇异性,在均匀网格上离散难以得到理想收敛阶,因此,我们根据k次幂公式,针对k=3,4,5建立了三种非均匀网格,分别记为网格2、网格1和网格3。在非均匀网格上采用L2-1σ格式对时间分数阶导数进行离散,其中σ=1-α/2,在均匀网格上采用中心差商公式对扩散项离散,导出模型方程的数值格式。通过理论分析,我们得到在不同的非均匀网格下离散所得数值求解格式有不同的时间收敛阶O（N-min{kα,2}）,其中N表示时间剖分份数,并对格式稳定性进行了分析。最后,通过几个数值算例验证了理论分析结果,通过观察计算结果我们发现在网格1上计算可以得到更精确的解,对于(α≥0.5,在网格1上计算具有二阶收敛速度,这对于具有可调参数r的分层网格是最佳的。另外,为了比较我们也在标准分层网格上进行了计算,发现对于α≥0.5的情况,网格1的数值误差也要好于标准分层网格的数值误差。第六章,对于具有Caputo分数阶导数的一维和二维时间分数阶扩散方程,我们考虑其解在初始时刻具有奇异性的情形,为得到理想的收敛阶,对于Caputo时间分数阶导数项,我们在分层网格上采用L1-2格式进行离散,而空间导数项在均匀网格上采用经典中心差分格式近似,并且对时间离散格式进行了局部截断误差估计,由于数值格式中的系数正负性比较复杂,数值格式的整体稳定性分析仍然是一个未解决的问题。另一方面,考虑到数值求解计算量比较大,我们基于奇异值分解和本征正交分解（POD）技术对直接离散所得格式进行优化,得到了降阶有限差分外推算法,降阶算法使得每个时间层未知量个数极大地减少。数值算例验证了数值格式的收敛性,时间收敛阶达到O（N-min{rα,3-α}）,同时验证了降阶算法的有效性,降阶有限差分格式与直接离散得到的有限差分格式比较计算所得数值结果相差甚微,而降阶有限差分格式计算所需时间明显缩短。第七章,对在初始时刻具有奇异性的分数阶对流扩散方程进行研究,导出了快速有限差分/RBF无网格方法。我们首先对时间导数项在分层网格上采用经典的L1格式离散,导出问题的半离散格式。其次,对RBF形函数构造进行简单介绍,然后采用RBF无网格方法对空间离散,导出分数阶对流扩散方程的全离散格式。无网格方法不需要构造网格,从而更利于处理复杂区域或者复杂边界条件问题。然而,无网格方法也同样存在计算效率问题,为解决这个问题,我们采用本征正交分解（POD）技术与RBF无网格方法相结合,对分数阶对流扩散方程建立了一种具有较低维数的降阶无网格外推算法。最后,研究了不同问题区域和不同节点分布的数值算例,并采用有限差分方法对问题进行求解并与RBF无网格方法进行比较,验证降阶外推无网格方法可以获得较好的精确度,而且有效节省计算时间。第八章,对全文进行总结,并对未来主要研究方向进行简单介绍。
王星驰[4]（2021）在《基于修正SPH方法时/空分数阶对流扩散方程的数值研究》文中认为由于分数阶导数的长时记忆性和非局部特性,使其能更精确地描述具有记忆和遗传性质的粘弹性材料或流变学的非线性动力学行为,该非线性行为常用时间或空间分数阶对流扩散方程来描述。然而,分数阶导数或非线性部分的复杂性,使得许多情况下很难用解析手段获得分数阶方程的理论解。因此,学者们开始广泛关注分数阶对流扩散方程的数值方法,比如网格类的有限差分法和有限元法等。但基于网格的数值方法在处理复杂非规则区域问题或局部加密实施时存在诸多困难。于是,近些年来完全不依赖于网格的纯无网格法—光滑粒子流体动力学（SPH）方法,以其任意布点或易处理非规则区域问题的优点在计算力学领域普遍受到广泛关注成为一种新的计算方法,且其在求解分数阶对流扩散方程问题上还未见相关文献报道。直接将传统SPH方法应用到分数阶对流扩散问题的求解时存在精度低和稳定性差的缺陷,需要进一步对其修正发展一种稳定准确的纯无网格算法。基于上述分析,本文首先将一阶导数核梯度修正SPH（CSPH）方法与Caputo时间分数阶差分格式耦合,对常/变数时间分数阶对流扩散方程（TF-CDE）进行数值研究;其次,将Riemann-Liouville分数阶导数的积分离散格式与CSPH格式结合,首次推导了一种能够准确求解时间依赖空间分数阶对流扩散（SF-CDE）方程的纯无网格离散格式（CSPH-SFCD）,并运用其对空间分数阶Burgers方程进行了数值模拟研究。本文主要研究内容如下:（1）将CSPH方法与基于Caputo时间分数阶导数离散差分格式（FDM）进行耦合,给出一种能够准确求解常/变数TF-CDE的纯无网格CSPH-FDM法。为校验CSPH-FDM离散格式的数值收敛阶,对带Neumann边界有解析解的一维或二维常/变数TF-CDE进行了误差分析;为体现其灵活应用性,讨论了局部加密和复杂非规则区域问题的模拟结果;数值结果表明提出的纯无网格法具有较好的二阶精度和灵活推广应用性。（2）运用CSPH-FDM对无解析解TF-CDE进行模拟,并与其他结果作对比,成功预测了溶质随时间演化的过程。（3）将一种积分格式与CSPH公式结合,对基于Riemann-Liouville的单、双边空间分数阶导数进行离散,首次给出一种针对时间依赖SF-CDE方程准确求解的不依赖于网格的CSPH-SFCD离散方法。通过对一维/二维的单/双边空间分数阶对流扩散方程的求解,并与解析解进行了数值收敛性分析;模拟中也讨论了纯无网格法在非矩形区域或局部加密情况下的灵活应用优点。（4）运用上述的CSPH-SFCD与迎风格式耦合,对非线性的空间分数阶Burgers问题进行了数值模拟预测,并与有限差分结果作对比。数值结果表明本文提出的纯无网格法模拟复杂SF-CDE问题是有效可靠的。
侯志春[5]（2021）在《基于小波积分配点法求解矩形板大挠度弯曲问题》文中认为在力学领域中普遍存在着非线性现象,数学形式上可以描述为非线性的初边值问题。但是由于非线性问题的复杂性,目前我们很难去找到其解析解,所以现在的工程问题中通常需要数值技术去解决。虽然目前已有数值算法中已经在该方面取得了很大的成功,但是现有的研究还是没有把非线性问题解决好。比如有多空间维度或高阶导数的存在时,一般都未能有效解决,非线性问题的存在使得现有算法难以凑效,尤其是三则耦合情况下更是无法解决。基于目前研究现状,本文针对高维高阶导数的非线性问题给出了高精度的求解方法,同时在解决薄板结构的弯曲问题时避免了有限元软件仿真分析导致的沙漏效应。本文基于一维小波方法,拓展了多维Coiflet小波积分逼近格式,构造了高维小波积分配点法,并通过数值算例验证了该算法的可行性。具体研究内容分三个部分介绍如下:（1）介绍了紧支性的正交Coiflet小波,基于此得到了有界区间上L2函数的多维小波积分逼近格式,通过泰勒多项式插值展开对逼近格式的误差精度给出了证明。之后对三维空间中的边界端点处存在的跳跃现象进行了改进,获得了更为稳定的小波函数积分形式,给出了高维高阶小波积分配点法的数值离散格式。（2）考虑到泊松方程经常被用来验证一种新算法的优劣,本文利用极端的高维高阶类泊松问题去验证前面构造的小波积分配点法。我们分别分析了二维4到8阶以及三维4阶类泊松方程的数值精度,发现本文所构造的方法求解精度不依赖于空间维数以及最高阶导数阶数,更重要的是始终保持和直接逼近函数一样的高精度。（3）针对于在力学结构分析中的矩形薄板大挠度弯曲问题,诸如有限元算法会因为形函数阶数太低不能描述弯曲状态而导致沙漏效应。小波方法引入高阶形函数进行插值,可以准确表达板的弯曲状态,且小波积分配点法采用积分的思路,不依赖于导数,不会损失求解精度。我们通过在板的中心加载集中力验证了该算法完全可以避免剪力锁闭现象,以及在精度方面保持了与理论分析的一致性。
钟霖[6]（2021）在《无网格法求解两类偏微分方程》文中研究表明生活中许多实际问题都可以建模成偏微分方程模型。求解偏微分方程将帮助人们更好的理解实际问题,而偏微分方程的解析解不易获得,因此研究偏微分方程的数值解是十分必要的。本文主要对两类偏微分方程进行了数值求解。首先,研究了一类分段连续型延迟偏微分方程。利用θ-加权有限差分法得到了方程时间上的离散格式,然后利用基于径向基函数的无网格插值法近似了空间导数,得到了全离散数值格式。采用的基函数是Multiquadric（MQ）径向基函数,MQ径向基函数在精度、稳定性等方面都优于其他径向基函数。根据傅立叶方法得到了一维分段连续型延迟偏微分方程离散模型的稳定性条件,即稳定性只与时间步长有关,并利用Matlab计算了数值解与解析解的误差,计算了在不同时间步长、θ值和初值下方程的数值解,验证了该方法的有效性。其次,把一维的分段连续型延迟偏微分方程推广到n维,给出了方程级数形式的解析解。利用θ-加权有限差分法与径向基函数法建立了方程的离散模型,得出了与一维方程类似的稳定性条件。数值算例部分计算了在一维方程下解析解与数值解的误差,给出了二维方程下数值解稳定性的分量图。结果表明随着时间的增加,数值解逐渐趋于0,即渐近稳定。最后,研究了一类具有反应扩散项的捕食-被捕食模型。根据Crank-Nicolson格式与径向基点插值法（RPIM）得到离散模型,采用的仍然是MQ径向基函数。利用预估-校正法消除离散模型的非线性,得到了线性方程组。分析了不同形参数对三种径向基函数的影响。最后给出了捕食-被捕食模型数值模拟图。
林婷婷[7]（2021）在《张量多项式和径向基函数求解随机最优控制问题》文中指出偏微分方程最优控制问题在物理学、空气动力学、化工产业等领域都有着广泛应用,比如产品的有效冷却系统、航空工业产品最优形状设计、油田二次注水优化开采等.许多可用偏微分方程描述的自然现象会受到不确定因素的影响,我们需要将这些不确定因素考虑进去,因此就有了随机偏微分方程及其最优控制问题.一般来说很难求出这些问题的解析解,故高效的数值求解方法对于它们的成功应用至关重要.本文主要研究随机偏微分方程及其最优控制问题的随机Galerkin张量多项式方法、随机Galerkin径向基函数方法和Monte Carlo方法,并对随机变量服从均匀分布和非均匀分布的情形都加以讨论,主要内容有:在第一章中,我们介绍随机偏微分方程及其最优控制问题的研究现状及经典数值求解方法的优缺点.在第二章中,我们研究具有随机场系数椭圆方程的高效数值求解方法,构建随机Galerkin张量多项式方法、随机Galerkin径向基函数方法和Monte Carlo方法的求解格式,通过大量数值算例验证所采用方法的有效性,并展示随机Galerkin径向基函数方法的诸多优势.算例1展示随机变量服从均匀分布和Beta分布时分别使用张量多项式和径向基函数求解随机椭圆方程的效果,结果表明径向基函数方法在高维问题的求解上具有更多的优势.算例2分别运用随机Galerkin径向基函数方法和Monte Carlo方法计算随机椭圆方程解的期望及方差,结果表明径向基函数方法精度远比Monte Carlo方法的精度要高,可以大大减少计算量.在第三章中,我们研究具有随机场系数椭圆方程最优控制问题的高效数值求解方法.构建随机Galerkin张量多项式逼近格式,证明先验误差估计;给出随机Galerkin径向基函数求解格式和先验误差估计.利用梯度投影算法,对随机变量服从不同分布的情形进行大量数值实验,验证所采用方法的有效性,展示随机Galerkin径向基函数方法在求解该类问题上的优势.
赵洁[8]（2020）在《几类分数阶偏微分方程的有限体积元方法研究》文中提出本文的主要工作是研究几类时间分数阶偏微分方程的有限体积元方法,并将时间两层网格方法的思想和有限体积元方法相结合,对两类非线性分数阶偏微分方程提出时间两层网格有限体积元快速算法.针对几类Caputo型与Riemann-Liouville型时间分数阶偏微分方程,分别建立了全离散数值计算格式,给出了全离散格式解的稳定性和收敛性等理论分析结果,并对模型方程进行了数值实验,通过实验数据验证了理论结果.本文主要考虑了分数阶反应扩散方程、非线性分数阶移动/非移动输运方程、非线性分数阶四阶反应扩散方程、非线性分数阶Cable方程和非线性分数阶耦合扩散系统.具体的研究内容可以概括为如下三个部分:在第二章中,研究了一类Caputo型时间分数阶反应扩散方程的有限体积元方法.在时间方向上采用经典的L1公式逼近Caputo型时间分数阶导数.在空间离散过程中,针对二维有界凸多边形区域构造原始剖分和对偶剖分,分别选择分片线性多项式函数空间和分片常数函数空间作为试验函数空间和检验函数空间,通过引入插值算子Ih*,构造了全离散有限体积元格式.利用L1公式和插值算子Ih*的性质,给出了全离散格式解的存在唯一性、L2范数下的无条件稳定性和H1范数下的条件稳定性,并且得到了最优先验误差估计.最后给出两个不同空间维数的数值算例来验证数值方法的可行性.在第三章和第四章中,研究了非线性时间分数阶移动/非移动输运方程的有限体积元方法和非线性时间分数阶四阶反应扩散方程的混合有限体积元方法.采用二阶WSGD公式逼近两类方程中的Riemann-Liouville型时间分数阶导数,并且使用一类二阶线性化公式逼近两类模型方程中的非线性项,在处理非线性时间分数阶四阶反应扩散方程时,引入辅助变量将原问题转化为低阶耦合系统.使用插值算子Ih*,对两类方程分别建立了二阶全离散有限体积元格式和混合有限体积元格式.利用WSGD公式和插值算子Ih*的性质,给出了全离散格式解的存在唯一性和无条件稳定性结果,并且得到了最优先验误差估计,其中收敛阶和分数阶导数的参数无关.最后对两类模型方程都给出了含不同非线性项的数值算例来验证理论分析结果.在第五章和第六章中,将时间两层网格方法的思想和有限体积元方法相结合,研究了带有Riemann-Liouville型时间分数阶导数的非线性分数阶Cable方程和非线性分数阶耦合扩散系统的时间两层网格有限体积元快速算法.时间两层网格有限体积元方法的计算过程分三步:第一步,先在时间粗网格上利用非线性有限体积元格式迭代计算出一组粗糙解;第二步,利用时间粗网格上的粗糙解,使用Lagrange插值公式计算出时间细网格上的一组粗糙解;第三步,利用时间细网格上的粗糙解,使用一个特殊技巧建立线性化的有限体积元格式,并求解出时间细网格上的最终解.这种办法可以大幅度减少计算时间,提高计算效率.文中建立了两类模型方程的时间两层网格有限体积元格式,得到了时间粗网格和细网格下全离散解的无条件稳定性和最优先验误差估计结果.最后对两类模型方程均给出了相应的数值算例,通过对比时间两层网格方法和标准有限体积元方法的数值结果,可以看出时间两层网格有限体积元方法在保证收敛精度的同时,还在很大程度上节省了计算时间.
李科园[9]（2020）在《两流区模型的楔形基无网格方法研究》文中研究表明随着科技和社会的不断进步与发展,偏微分方程的理论与数值解法在不同领域中都得到了研究和应用。国内外学者通过建立不同的数学模型对土壤孔隙流速的特性进行具体描述,如何改进数值方法求解两流区模型已成为学术界的研究趋势。本文主要考虑两流区模型和时间分数阶两流区模型,并将楔形基函数与配点法结合,从而提出了楔形基无网格方法。本文的主要研究工作如下:（1）梳理两流区模型和时间分数阶两流区模型的背景意义和研究现状:网格方法的研究进展以及相关理论;并给出分数阶微积分的基础知识。（2）针对一维和二维两流区模型的基本方程,首先分别构造有效的楔形基无网格算法格式,即近似函数利用楔形基函数来构造,控制方程采用配点配办法来离散。其次分析数值解的存在唯一性。最后给出数值算例,讨论楔形基无网格方法的影响因素,并将其与有限差分方法（FDM）进行比较。数值结果表明在计算精度和收敛性方面,楔形基无网格方法更有优势。（3）对于一维和二维时间分数阶两流区模型基本方程的求解,首先分别构造基于L1插值逼近的楔形基无网格算法格式,其次讨论分析数值的存在唯一性,最后通过数值模拟,比较在不同情形下楔形基无网络方法与有限差方法的计算误差。数值结果表明楔形基无网格方法对于求解时间分数阶两流区模型的可行性和有效性。
胡文[10]（2020）在《变系数偏微分方程柯西反问题的无网格广义有限差分方法》文中进行了进一步梳理广义有限差分方法是一种是近年来热度较高的新型无网格数值方法,相较于传统的网格法,该方法在处理初-边值问题方面占据明显的优势,主要表现为可以避免耗时耗力的网格生成过程和繁琐的数值求积。在现代实际工程中,对热弹性,功能梯度材料热传导以及反问题的研究热度越来越高,而对这些问题的探究不仅是现代高技术领域发展的渴望,也是社会前进的需求。本文将广义有限差分法首次用于求解变系数偏微分方程,也是首次应用于热弹性以及功能梯度材料稳态热传导的柯西反问题。广义有限差分法的数学实现是基于泰勒级数展开和移动最小二乘法的耦合,将每一点处的未知偏导数项近似为相邻节点函数值的线性组合,这样原问题的偏微分方程式就可以离散化为稀疏的代数矩阵系统。针对上述内容,已经取得了初步的研究成果。在本文中,广义有限差分法不论是求解热弹性反问题,还是功能梯度材料稳态热传导问题,实际上就是求解一组常系数或变系数的偏微分方程式。针对以上问题,本文分析了几个数值示例,求解过程中根据控制变量法,在准确边界条件加入不同水平的扰动数据、调整支持节点数或者改变柯西反问题中过度定义边界所占的比例,最终都没有引起数值结果发生较大变动,所得数值解与相应的精确解总能很好的吻合,所得的误差也总能保持在反问题可接受范围内,验证了该数值法的稳定性和准确性。由此可得,广义有限差分法能够较为稳定,精确且高效地求解变系数偏微分方程的柯西反问题。
二、无网格方法在偏微分方程数值解中的应用研究（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、无网格方法在偏微分方程数值解中的应用研究（论文提纲范文）
（1）两流区模型的径向基无网格方法研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 1 绪论 |
| 1.1 两流区模型的研究背景与意义 |
| 1.2 两流区模型的国内外研究进展 |
| 1.2.1 两流区模型的研究进展 |
| 1.2.2 时间分数阶两流区模型的研究进展 |
| 1.3 径向基无网格方法的研究概况及其研究现状 |
| 1.3.1 无网格方法的研究概况 |
| 1.3.2 径向基函数的研究概况及其研究现状 |
| 1.4 主要内容与章节安排 |
| 2 预备知识 |
| 2.1 分数阶微积分的基础理论 |
| 2.1.1 Gamma函数 |
| 2.1.2 Beta函数 |
| 2.1.3 Mittag-Leffler函数 |
| 2.1.4 分数阶微积分的定义和性质 |
| 2.1.5 不同分数阶导数的关系 |
| 2.2 分数阶导数的数值逼近 |
| 2.2.1 Caputo型分数阶导数的L1 插值逼近 |
| 2.3 径向基函数插值 |
| 2.3.1 径向基函数 |
| 2.3.2 径向基函数插值 |
| 2.4 配点法 |
| 2.5 本章小结 |
| 3 两流区模型的径向基无网格方法 |
| 3.1 两流区模型的径向基无网格方法构造 |
| 3.1.1 一维两流区模型的径向基无网格方法构造 |
| 3.1.2 二维两流区模型的径向基无网格方法构造 |
| 3.2 数值模拟 |
| 3.2.1 一维两流区模型的数值模拟 |
| 3.2.2 二维两流区模型的数值模拟 |
| 3.3 本章小结 |
| 4 时间分数阶两流区模型的径向基无网格方法 |
| 4.1 时间分数阶两流区模型的径向基无网格方法构造 |
| 4.1.1 一维时间分数阶两流区模型的径向基无网格方法构造 |
| 4.1.2 二维时间分数阶两流区模型的径向基无网格方法构造 |
| 4.2 数值模拟 |
| 4.2.1 一维时间分数阶两流区模型的数值模拟 |
| 4.2.2 二维时间分数阶两流区模型的数值模拟 |
| 4.3 本章小结 |
| 5 总结与展望 |
| 5.1 总结 |
| 5.2 展望 |
| 致谢 |
| 参考文献 |
| 攻读硕士学位期间主要研究成果 |
（2）一类对流扩散方程（组）的两种数值解法研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究目的与意义 |
| 1.2 国内外研究现状 |
| 1.3 本文研究的主要内容 |
| 第二章 方法介绍 |
| 2.1 Fourier谱方法 |
| 2.1.1 Fourier变换 |
| 2.1.2 FFT和IFFT函数 |
| 2.1.3 Fourier微分矩阵 |
| 2.1.4 Fourier谱方法求解偏微分方程的步骤 |
| 2.2 重心插值配点法 |
| 2.2.1 重心Lagrange插值 |
| 2.2.2 直接线性化迭代法 |
| 2.2.3 重心插值及其偏微分矩阵 |
| 2.2.4 边界条件的离散公式和施加方法 |
| 2.3 本章小结 |
| 第三章 一类对流扩散方程的Fourier谱谱方法 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 数值算例 |
| 3.3 小结 |
| 第四章 一类对流扩散方程的重心插值配点法 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 方法介绍 |
| 4.3 数值算例 |
| 4.4 应用举例 |
| 4.4.1 引言 |
| 4.4.2 数学模型及求解 |
| 4.4.3 数值实验 |
| 4.5 小结 |
| 第五章 一类分数阶扩散方程组的Fourier谱谱方法 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 预备知识 |
| 5.3 分岔分析 |
| 5.4 振幅方程 |
| 5.5 数值算例 |
| 5.6 本章小结 |
| 第六章 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 在读期间发表的学术论文与取得的其他研究成果 |
（3）分数阶微分方程的高精度高效算法（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| 英文摘要 |
| 第一章 绪论 |
| §1.1 分数阶微积分简介 |
| §1.2 本文主要内容 |
| 第二章 基于Caputo-Fabrizio导数的分数阶Cattaneo方程的快速紧致有限差分方法 |
| §2.1 引言 |
| §2.2 一维分数阶Cattaneo方程的紧致有限差分方法 |
| §2.2.1 离散问题 |
| §2.2.2 稳定性分析 |
| §2.2.3 误差估计 |
| §2.3 二维分数阶Cattaneo方程的紧致有限差分方法 |
| §2.3.1 离散问题 |
| §2.3.2 稳定性分析和误差估计 |
| §2.4 Caputo-Fabrizio分数阶导数的高效存储和快速计算 |
| §2.5 数值算例 |
| §2.6 本章小结 |
| 第三章 基于Caputo-Fabrizio导数的时间分布阶偏微分方程的两种无条件稳定方法 |
| §3.1 引言 |
| §3.2 离散问题 |
| §3.2.1 空间和分布阶的二阶方法 |
| §3.2.1.1 稳定性分析 |
| §3.2.1.2 误差估计 |
| §3.2.2 空间和分布阶的四阶方法 |
| §3.2.2.1 稳定性分析 |
| §3.2.2.2 误差估计 |
| §3.3 数值算例 |
| §3.4 本章小结 |
| 第四章 分数阶微分方程在非均匀网格上的有限差分方法 |
| §4.1 引言 |
| §4.2 分数阶非线性常微分方程 |
| §4.2.1 离散问题 |
| §4.2.2 误差估计 |
| §4.2.3 数值算例 |
| §4.3 分数阶线性偏微分方程 |
| §4.3.1 误差估计 |
| §4.3.2 数值算例 |
| §4.4 本章小结 |
| 第五章 时间分数阶扩散问题在非均匀网格上的有限差分法 |
| §5.1 引言 |
| §5.2 离散问题 |
| §5.3 稳定性分析和误差估计 |
| §5.4 数值算例 |
| §5.5 本章小结 |
| 第六章 时间分数阶扩散方程在非均匀网格上的快速高阶方法 |
| §6.1 引言 |
| §6.2 离散问题 |
| §6.3 局部截断误差估计 |
| §6.4 降阶有限差分外推算法 |
| §6.5 数值算例 |
| §6.6 本章小结 |
| 第七章 分数阶对流扩散方程的快速有限差分/RBF无网格方法 |
| §7.1 引言 |
| §7.2 离散问题 |
| §7.2.1 半离散格式 |
| §7.2.2 RBF无网格形函数构造 |
| §7.2.3 全离散格式 |
| §7.3 RBF无网格降阶外推算法 |
| §7.4 数值算例 |
| §7.4.1 具有Dirichlet边界条件的矩形问题域 |
| §7.4.2 具有Dirichlet边界条件的L形问题域 |
| §7.4.3 具有Dirichlet边界条件的圆形问题域 |
| §7.4.4 具有Dirichlet和Neumann边界条件的矩形问题域 |
| §7.5 本章小结 |
| 第八章 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 攻读博士学位期间发表的论文 |
| 作者简介 |
| 学位论文评阅及答辩情况表 |
（4）基于修正SPH方法时/空分数阶对流扩散方程的数值研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景及意义 |
| 1.2 国内外研究现状 |
| 1.2.1 SPH方法的研究现状 |
| 1.2.2 时空分数阶微分方程的研究现状 |
| 1.3 预备知识 |
| 1.4 本文主要研究内容 |
| 第二章 SPH方法介绍 |
| 2.1 传统SPH方法 |
| 2.1.1 传统SPH方法的基本方程 |
| 2.1.2 光滑核函数的性质及常用形式 |
| 2.1.3 最近相邻粒子搜索法 |
| 2.1.4 SPH方法核近似精度分析 |
| 2.2 修正SPH方法的离散格式 |
| 第三章 时间分数阶对流扩散方程的数值研究 |
| 3.1 常/变数时间分数阶对流扩散方程(TF-CDE) |
| 3.2 时间分数阶对流扩散方程的CSPH-FDM离散格式 |
| 3.3 数值误差及收敛性 |
| 3.4 算例分析 |
| 3.4.1 一维时间分数阶对流扩散方程 |
| 3.4.2 二维常数阶时间分数阶对流扩散方程 |
| 3.4.3 二维变数阶时间分数阶对流扩散方程 |
| 3.5 时间分数阶对流扩散方程的数值模拟 |
| 3.6 本章小结 |
| 第四章 空间分数阶对流扩散方程的数值研究 |
| 4.1 空间分数阶对流扩散方程(SF-CDE) |
| 4.1.1 单、双边空间分数阶对流扩散方程 |
| 4.1.2 空间分数阶Burgers方程(SFBE) |
| 4.2 空间分数阶对流扩散方程的CSPH-SFCD离散格式 |
| 4.2.1 空间分数阶导数项积分近似 |
| 4.2.2 时间导数项离散 |
| 4.3 算例分析 |
| 4.3.1 一维有精确解算例 |
| 4.3.2 二维有精确解算例 |
| 4.4 数值模拟 |
| 4.5 本章小结 |
| 第5章 结论与展望 |
| 5.1 结论 |
| 5.2 主要创新点 |
| 5.3 展望 |
| 参考文献 |
| 攻读学位期间取得的研究成果 |
| 致谢 |
（5）基于小波积分配点法求解矩形板大挠度弯曲问题（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 引言 |
| 1.2 小波理论的起源与发展 |
| 1.3 小波在数值计算中的应用 |
| 1.4 本文主要工作 |
| 第二章 小波数值分析的基础理论 |
| 2.1 多分辨分析和Coiflet小波基的构建 |
| 2.1.1 多分辨分析基础 |
| 2.1.2 Coiflet小波基的构造 |
| 2.2 有界区间上L~2函数的Coiflet小波逼近 |
| 2.3 本章总结 |
| 第三章 高维小波积分配点法 |
| 3.1 高维小波积分配点格式 |
| 3.2 非线性边值问题的误差分析 |
| 3.3 本章总结 |
| 第四章 非线性边值问题中的应用 |
| 4.1 类泊松方程的数值分析 |
| 4.1.1 二维Poisson方程 |
| 4.1.2 三维Poisson方程 |
| 4.2 矩形板的大挠度弯曲问题 |
| 4.2.1 控制方程的代数离散格式 |
| 4.2.2 数值计算结果与讨论 |
| 4.2.3 有限元软件失真分析 |
| 4.3 本章总结 |
| 第五章 结束语 |
| 参考文献 |
| 附录 A 尺度函数在整数点的积分值 |
| 附录 B 计算尺度基函数所需的系数值 |
| 附录 C 三维边值问题的小波积分配点格式 |
| 附录 D 非线性偏微分方程各偏导项推导过程 |
| 致谢 |
（6）无网格法求解两类偏微分方程（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 1 绪论 |
| 1.1 偏微分方程的简述 |
| 1.2 分段连续型延迟偏微分方程与捕食-被捕食模型简介 |
| 1.2.1 分段连续型延迟偏微分方程研究现状 |
| 1.2.2 捕食-被捕食模型研究现状 |
| 1.3 无网格法 |
| 1.4 本文主要研究内容 |
| 2 一类分段连续型延迟偏微分方程的求解 |
| 2.1 一维分段连续型延迟偏微分方程的求解 |
| 2.1.1 离散模型的建立 |
| 2.1.2 稳定性分析 |
| 2.1.3 数值算例 |
| 2.2 n维分段连续型延迟偏微分方程的求解 |
| 2.2.1 方程的解析解 |
| 2.2.2 方程的数值解及稳定性分析 |
| 2.2.3 数值算例 |
| 2.3 本章小结 |
| 3 一类具有反应扩散项的捕食-被捕食模型的求解 |
| 3.1 离散模型的建立 |
| 3.1.1 有限差分格式 |
| 3.1.2 径向基点插值 |
| 3.2 径向基点插值形函数的性质 |
| 3.3 数值模拟 |
| 3.4 本章小结 |
| 结论 |
| 参考文献 |
| 攻读学位期间发表的学术论文 |
| 致谢 |
| 东北林业大学硕士学位论文修改情况确认表 |
（7）张量多项式和径向基函数求解随机最优控制问题（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 引言 |
| 1.1 研究背景 |
| 1.2 本文主要研究内容 |
| 第二章 随机椭圆偏微分方程求解 |
| 2.1 函数空间和随机椭圆偏微分方程 |
| 2.1.1 函数空间 |
| 2.1.2 随机椭圆偏微分方程 |
| 2.2 随机椭圆偏微分方程的有限维表示 |
| 2.3 随机Galerkin张量多项式方法 |
| 2.4 随机Galerkin径向基函数方法 |
| 2.4.1 径向基函数简介 |
| 2.4.2 数值逼近格式 |
| 2.5 Monte Carlo方法求期望及方差 |
| 2.6 数值实验 |
| 2.6.1 算例1 |
| 2.6.2 算例2 |
| 第三章 随机椭圆方程最优控制问题求解 |
| 3.1 随机最优控制问题及其最优性条件 |
| 3.1.1 随机最优控制问题 |
| 3.1.2 最优性条件 |
| 3.2 随机Galerkin张量多项式方法 |
| 3.3 先验误差估计 |
| 3.4 随机Galerkin径向基函数方法 |
| 3.5 数值实验 |
| 第四章 结论 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
（8）几类分数阶偏微分方程的有限体积元方法研究（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| 英文摘要 |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 分数阶偏微分方程有限体积元方法的研究现状 |
| 1.2 本文的主要研究工作和文章结构 |
| 第二章 时间分数阶反应扩散方程的有限体积元方法 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 全离散有限体积元格式 |
| 2.3 存在唯一性和稳定性分析 |
| 2.3.1 一些引理 |
| 2.3.2 存在唯一性 |
| 2.3.3 稳定性 |
| 2.4 先验误差估计 |
| 2.5 数值算例 |
| 2.6 结论 |
| 第三章 非线性时间分数阶移动/非移动输运方程的有限体积元方法 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 全离散有限体积元格式 |
| 3.3 存在唯一性和稳定性分析 |
| 3.3.1 一些引理 |
| 3.3.2 存在唯一性 |
| 3.3.3 稳定性分析 |
| 3.4 先验误差估计 |
| 3.5 数值算例 |
| 3.6 结论 |
| 第四章 非线性时间分数阶四阶反应扩散方程的混合有限体积元方法 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 全离散混合有限体积元格式 |
| 4.3 存在唯一性和稳定性分析 |
| 4.4 先验误差估计 |
| 4.5 数值算例 |
| 4.6 结论 |
| 第五章 非线性时间分数阶Cable方程的时间两层网格有限体积元方法 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 时间两层网格有限体积元方法 |
| 5.3 稳定性分析 |
| 5.4 先验误差估计 |
| 5.5 数值算例 |
| 5.6 结论 |
| 第六章 非线性时间分数阶耦合扩散系统的时间两层网格有限体积元方法 |
| 6.1 引言 |
| 6.2 时间两层网格有限体积元方法 |
| 6.3 稳定性分析 |
| 6.4 先验误差估计 |
| 6.5 数值算例 |
| 6.6 结论 |
| 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 攻读学位期间已完成的学术论文 |
（9）两流区模型的楔形基无网格方法研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| abstract |
| 1 绪论 |
| 1.1 研究背景与意义 |
| 1.2 国内外研究概况 |
| 1.2.1 两流区模型的研究进展 |
| 1.2.2 时间分数阶两流区模型的研究进展 |
| 1.2.3 无网格方法的研究进展 |
| 1.3 研究方法 |
| 1.4 主要内容与章节安排 |
| 2 预备知识 |
| 2.1 分数阶微积分的基础理论 |
| 2.1.1 Gamma函数 |
| 2.1.2 Beta函数 |
| 2.1.3 Mittag-Leffler函数 |
| 2.1.4 分数阶微积分的定义和性质 |
| 2.1.5 不同分数阶导数的关系 |
| 2.2 分数阶导数的数值逼近 |
| 2.2.1 Riemann-Liouville型分数阶导数的Grunwald-Letnikov逼近 |
| 2.2.2 Caputo型分数阶导数的L1插值逼近 |
| 2.3 楔形基无网格方法原理 |
| 2.3.1 楔形基及其插值理论 |
| 2.3.2 楔形基函数插值的可解性 |
| 2.3.3 配点法 |
| 2.4 本章小结 |
| 3 两流区模型的楔形基无网格方法 |
| 3.1 两流区模型的楔形基无网格方法构造 |
| 3.1.1 一维两流区模型的楔形基无网格方法构造 |
| 3.1.2 二维两流区模型的楔形基无网格方法构造 |
| 3.2 解的存在唯一性 |
| 3.3 数值模拟 |
| 3.3.1 一维两流区模型的数值模拟 |
| 3.3.2 二维两流区模型的数值模拟 |
| 3.4 本章小结 |
| 4 时间分数阶两流区模型的楔形基无网格方法 |
| 4.1 时间分数阶两流区模型的楔形基无网格方法构造 |
| 4.1.1 一维时间分数阶两流区模型的楔形基无网格方法构造 |
| 4.1.2 二维时间分数阶两流区模型的楔形基无网格方法构造 |
| 4.2 解的存在唯一性 |
| 4.3 数值模拟 |
| 4.3.1 一维时间分数阶两流区模型的数值模拟 |
| 4.3.2 二维时间分数阶两流区模型的数值模拟 |
| 4.4 本章小结 |
| 5 总结与展望 |
| 5.1 总结 |
| 5.2 展望 |
| 致谢 |
| 参考文献 |
| 攻读硕士学位期间主要研究成果 |
（10）变系数偏微分方程柯西反问题的无网格广义有限差分方法（论文提纲范文）
| 摘要 |
| abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 广义有限差分法 |
| 1.1.1 数值法的概述 |
| 1.1.2 广义有限差分法概述 |
| 1.1.3 柯西反问题概述 |
| 1.2 力学背景 |
| 1.2.1 热弹性概述 |
| 1.2.2 简介功能梯度材料 |
| 1.3 本文的主要研究内容 |
| 第二章 广义有限差分法在二维变系数偏微分方程的应用 |
| 2.1 广义有限差分法的数学实现 |
| 2.2 广义有限差分求解二维变系数偏微分方程 |
| 2.3 本章小结 |
| 第三章 广义有限差分方法求解三维变系数偏微分方程 |
| 3.1 广义有限差分法求解三维问题 |
| 3.2 广义有限差分模拟三维变系数偏微分方程 |
| 3.3 三维热弹性问题的数学描述 |
| 3.4 三维热弹性计算示例:涡轮叶片形状的计算区域 |
| 3.4.1 数学模型 |
| 3.4.2 计算结果分析 |
| 3.5 三维热弹性计算示例:核潜艇形状的计算区域 |
| 3.5.1 数学模型 |
| 3.5.2 计算结果分析 |
| 3.6 本章小结 |
| 第四章 广义有限差分方法求解变系数偏微分反问题 |
| 4.1 广义有限差分法求解柯西反问题 |
| 4.2 柯西反问题计算示例:立方体模型的稳态热传导 |
| 4.2.1 数学模型 |
| 4.2.2 计算结果分析 |
| 4.3 柯西反问题示例:汽车轮胎形状计算区域的稳态热传导 |
| 4.3.1 数学模型 |
| 4.3.2 计算结果分析 |
| 4.4 柯西反问题示例:战斗机形状计算区域的稳态热传导 |
| 4.4.1 数学模型 |
| 4.4.2 计算结果分析 |
| 4.5 本章小结 |
| 第五章 结论 |
| 参考文献 |
| 攻读学位期间的研究成果 |
| 致谢 |
四、无网格方法在偏微分方程数值解中的应用研究（论文参考文献）
- [1]两流区模型的径向基无网格方法研究[D]. 张驰. 西安理工大学, 2021(01)
- [2]一类对流扩散方程（组）的两种数值解法研究[D]. 班亭亭. 内蒙古工业大学, 2021(01)
- [3]分数阶微分方程的高精度高效算法[D]. 乔海丽. 山东大学, 2021(10)
- [4]基于修正SPH方法时/空分数阶对流扩散方程的数值研究[D]. 王星驰. 扬州大学, 2021(08)
- [5]基于小波积分配点法求解矩形板大挠度弯曲问题[D]. 侯志春. 兰州大学, 2021(09)
- [6]无网格法求解两类偏微分方程[D]. 钟霖. 东北林业大学, 2021(08)
- [7]张量多项式和径向基函数求解随机最优控制问题[D]. 林婷婷. 信阳师范学院, 2021(09)
- [8]几类分数阶偏微分方程的有限体积元方法研究[D]. 赵洁. 内蒙古大学, 2020
- [9]两流区模型的楔形基无网格方法研究[D]. 李科园. 西安理工大学, 2020(01)
- [10]变系数偏微分方程柯西反问题的无网格广义有限差分方法[D]. 胡文. 青岛大学, 2020(01)