问：正定矩阵的特征及性质
- 答：矩阵正定性的性质：
1、正定矩阵的特征值都是正数。
2、正定矩阵的主元也都是正数。
3、正定矩阵的所有子行列式都是正数。
4、正定矩阵将方阵特征值，主元，行列式融为一体。
正定矩阵的特征方法：
1、 对称矩阵A正定的充分必要条件是A的n个特征值全是正数。
2、对称矩阵A正定的充分必要条件是A合同于单位矩阵E。
3、对称矩阵A正定(半正定)的充分必要条件是存在n阶可逆矩阵U使A=U^TU
4、对称矩阵A正定，则A的主对角线元素均为正数。
5、对称矩阵A正定的充分必要条件是:A的n个顺序主子式全大于零。
扩展资料：
一个n阶的实对称矩阵M是正定的的条件是当且仅当对于所有的非零实系数向量z。
对于n阶实对称矩阵A，下列条件是等价的：
（1）A是正定矩阵；
（2）A的一切顺序主子式均为正；
（3）A的一切主子式均为正；
（4）A的特征值均为正；
（5）存在实可逆矩阵C，使A=C′C；
（6）存在秩为n的m×n实矩阵B，使A=B′B；
（7）存在主对角线元素全为正的实三角矩阵R，使A=R′R。
对于具体的实对称矩阵，常用矩阵的各阶顺序主子式是否大于零来判断其正定性；对于抽象的矩阵，由给定矩阵的正定性，利用标准型，特征值及充分必要条件来证相关矩阵的正定性。
参考资料来源： - 答：正定矩阵在合同变换下可化为标准型， 即对角矩阵。
所有特征值大于零的对称矩阵（或厄米矩阵）也是正定矩阵。
判定定理1：对称阵A为正定的充分必要条件是：A的特征值全为正。
判定定理2：对称阵A为正定的充分必要条件是：A的各阶顺序主子式都为正。
判定定理3：任意阵A为正定的充分必要条件是：A合同于单位阵。
正定矩阵的性质：
1.正定矩阵一定是非奇异的。奇异矩阵的定义：若n阶矩阵A为奇异阵，则其的行列式为零，即 |A|=0。
2.正定矩阵的任一主子矩阵也是正定矩阵。
3.若A为n阶对称正定矩阵，则存在唯一的主对角线元素都是正数的下三角阵L，使得A=L*L′，此分解式称为 正定矩阵的乔列斯基（Cholesky）分解。
4.若A为n阶正定矩阵，则A为n阶可逆矩阵。
问：证明 实对称矩阵是正定矩阵的充要条件是它的特征值都是正数
- 答：1.高等代数上有个定理：对于任意一个n级实对称矩阵A都存在一个n级正交矩 阵T，使T'AT成对角型，而对角线上的元素就是它的特征根。由此，开证，
（1）充分性：当对称矩阵A的特征根都为正数时，对角型矩阵T'AT对角线上的元素均为正数，所以T'AT为正定矩阵，又T为正交阵，所以A是正定阵。
（2）必要性：由于对称矩阵A是正定矩阵，所以存在一个正交矩阵T，使T'AT成对角型的对角线上的元素均为正值，而对角线上的元素又为A的所有特征值，即A的特征值均为正数。
你好，希望能够帮到你。
问：对称正定矩阵的性质是什么？
- 答：矩阵正定性的性质：
1、正定矩阵的特征值都是正数。
2、正定矩阵的主元也都是正数。
3、正定矩阵的所有子行列式都是正数。
4、正定矩阵将方阵特征值，主元，行列式融为一体。
相关信息：
对于n阶实对称矩阵A，下列条件是等价的：A是正定矩阵；A的一切顺序主子式均为正；A的一切主子式均为正；A的特征值均为正。
对于具体的实对称矩阵，常用矩阵的各阶顺序主子式是否大于零来判断其正定性；对于抽象的矩阵，由给定矩阵的正定性，利用标准型，特征值及充分必要条件来证相关矩阵的正定性。
