一、关于自相似集的Hausdorff测度（论文文献综述）
党云贵[1]（2021）在《拟对称极小集及共形维数的研究》文中认为本文研究了欧氏空间中集合的拟对称极小性以及平面上一类连通自相似集的共形维数.此外,我们给出了 Sierpinski地毯Sp的共形维数的上界.第一部分,证明了当Z是Rd-1中的非空Borel集时,[0,1]× Z是拟对称极小的,其中d是大于1的正整数.我们称这类集合是Tyson型集是因为Tyson已证明Z为紧集时[0,1]× Z的拟对称极小性[56],[66].作为应用,得到了欧氏空间中Tyson型集的三类形变版本的拟对称极小集.这三类集合分别是:（1）E={rx:r∈Z,x∈M},其中Z是（0,∞）中的非空Borel集,M是Sd-1中的一个k-维光滑曲面,k≤ d-1.（2）E={rx:r∈[0,1],x∈Z},这里Z是 Sd-1 中的非空 Borel 集.（3）G（h,Z）={（z,y）:z ∈ Z,y ∈[0,h（z）]},其中h:Rd-1→R1是 Borel 函数,Z（?）Rd-1是非空Borel集.第二部分,证明了平面上一类紧连通自相似集Xα的共形维数为1,并且这些自相似集Xα与任何Hausdorff维数为1的度量空间都不是拟对称等价的.这里Xα是由迭代函数系{fiα,f2α,f3α,4α}生成的吸引子,其中0<α<1/2,f1α（z）=z/2,f2α（z）=z+1/2,f3α（z）=1/2+αiz,f4α（z）=1/2-αiz.i表示虚单位.第三部分,给出了地毯Sp的共形维数的上界,其中p ≥ 3为奇数.我们借鉴了Kigami[43]思想,在Sp上构造了一列新度量 dεA,证明了这些新度量 dεA都与Sp上的欧氏度量拟对称等价.由A的选取,得出Sp的共形维数dimC Sp≤log（（p2-1）4-8）/4 log p.这也意味着Sp都不是拟对称极小集.
朱智伟,刘义豪,吴秋雄[2]（2020）在《三分Cantor集自乘积集顶点密度的数值计算》文中研究说明讨论三分Cantor集自乘积集顶点的上、下球密度计算的问题.利用自相似技巧,得到计算顶点处上、下球密度的一种算法,并通过MATLAB程序予以实现.
颜木泉[3]（2020）在《Cantor函数不可微点集的子集的维数》文中研究表明分形几何在近三十年来迅速发展成为一门新兴的数学分支,其理论在众多领域中得到了广泛的应用.1883年德国数学家Cantor提出了现在大家所熟知的Cantor三分集,Cantor三分集的构造是很简单的,然而,它却能体现最典型的分形几何特征,我们可以计算出经典三分Cantor集的Hausdorff维数为log 2/log 3.关于经典三分Cantor集,我们对它的研究不仅仅限于最初的测度计算和维数的证明.实际上很多学者对于Cantor函数不可微点的工作也做了很多深入的研究,在1993年,Darst[24]证明了经典三分Cantor集的Cantor函数不可微点的集合的Hausdorff维数为（log 2/log 3）2,并提到这一结论可以推广到一般的Cantor函数.Eidswick则指出三分Cantor集的Cantor函数的特征在于三进展式中0和2的间隔,并且证明了Cantor函数不可微点集的一个子集Tμλ的势是连续统,该子集Tμλ是对微分性质更精细的刻画,为此我们可进一步计算出集合Tμλ的Hausdorff维数以及Packing维数.
陈秀[4]（2018）在《Lipschitz等价与唯一集的Hausdorff维数》文中认为本文主要研究具有完全重叠结构的自相似集间的Lipschitz等价性问题和一般自相似集中具有唯一码的点构成的集合的维数下界估计问题.第一部分我们首先考虑了一类具有完全重叠结构的自相似集.对于该类集合中的任一集合,我们首先将它表示成有限个互不相交的非空紧集的并,并且这些紧集之间通过一个有向图相互联系.进而给出了一个判别该集合类中两个集合Lipschitz等价的充分条件.此外通过有向图技巧,我们还研究了一类由三个齐次线性压缩相似映射确定的具有重叠结构的自相似集合的Lipschitz等价性问题.第二部分我们主要研究自相似集合中具有唯一码的点构成的集合的Hausdorff维数下界估计问题.基于给定的自相似集的生成迭代函数系统,我们提出了一种选取具有唯一码的点的方案.通过该方案我们得到唯一码集的一个子集,它是一列（有限或可数个）压缩相似映射所确定的不变集,并且其Hausdorff维数可以通过一个明确的公式加以确定.从而得到了我们所研究的自相似集的唯一码集的Hausdorff维数的一个下界.此外,我们还给出了自相似集合中具有唯一码的点的集合的Hausdorff维数和上述所构造的子集的Hausdorff维数相等的充分必要条件.利用所给出的方案我们得到了若干自相似集合的唯一码集的Hausdorff维数确切值。
吴娟,贺皖松[5]（2017）在《不动点理论在分形几何中的应用》文中认为文章探讨了不动点理论在分形几何中的重要应用.Banach压缩映射不动点定理保证了自相似集这个不动点的存在惟一性及迭代收敛性,促进了分形几何中重要的理论分支——自相似集的产生,另外,相似压缩不动点的有关理论部分回答了关于自相似集的公开问题,为自相似集的研究提供了新的研究方向和思想方法.
聂饶荣[6]（2014）在《自相似集的Hausdorff测度与上凸密度的估计与计算》文中提出本论文主要研究分形几何中一类自相似集Hausdorff测度的计算以及顶点处上凸密度的估计,并给出直线上一类自相似集存在最好覆盖的一个充要条件以及满足开集条件的自相似集的几乎处处最好覆盖为最好覆盖的几个充分条件.全文共分为四章.第一章主要介绍了分形的研究背景及现状,并对分形的基本定义和引理作了较为详细的叙述.第二章考虑单位立方体内生成的一类自相似集的Hausdorff测度的计算问题.在相似比满足一定条件下,证明了自然覆盖为实现上凸密度1的最好形状,即自然覆盖为最好覆盖,从而得到该类自相似集的Hausdorff测度的精确值为（√3）s,其中s为Hausdorff维数.第三章通过证明一类Sierpinski地毯各个顶点最好形状的集合族为该地毯的一个覆盖,进而证明该类Sierpinski地毯内任一点的上凸密度均不小于其顶点处的上凸密度,推广了最近的一些结果.第四章首先利用直线上自相似集的最好形状为闭区间这一重要特点,得到直线上一类自相似集存在最好覆盖的一个充要条件,之后得到满足开集条件的自相似集的几乎处处最好覆盖为最好覆盖的几个充分条件.
吴亚豪,娄曼丽[7]（2014）在《一类自相似集重分形分支的量纲》文中提出本文首先定义具有量纲函数的重分形测度,然后证明当Euclid空间中的两个重分形测度具有等价的量纲函数时,它们也等价.进一步,对于直线上满足强分离条件（SSC）的自相似集,在某些加倍条件下,本文给出判断其重分形分支的量纲函数的充要条件.
聂饶荣,尹建东[8]（2013）在《一类正六面体的Hausdorff测度的计算》文中指出考虑单位立方体内生成的一类自相似集的Hausdorff测度的计算问题,在相似比满足一定条件下,证明了自然覆盖为实现上凸密度1的最好形状,即自然覆盖为最好覆盖。作为推论,得到该类自相似集的Hausdorff测度的精确值为（3）1/2s,其中s为Hausdorff维数。
晋娜[9]（2013）在《广义Sierpinski-垫的Hausdorff测度与维数的研究》文中研究指明在分形中,测度与维数的估计和计算是十分重要也非常困难的问题.目前为止,除了少数特殊分形的测度与维数被计算出来（如均匀康托集[1]）,大部分分形的测度与维数的计算仍然是我们需要解决的难题.即使是作为三大经典自相似集之一的Sierpinski-垫,它的维数计算十分容易,然而它的测度的计算却非常困难.目前为止,Sierpinski-垫的测度计算仅仅得到了S测度的一个上下界.尽管如此,当我们改变Sierpinski垫的压缩比例c时,所得到的这些分形图形随着c在0到1之间逐渐递增也由完全不连通到具有重叠结构,甚至对于某些特殊的c,Sierpinski垫具有完全重叠结构.文献[14]对时的Sierpinski-垫S的测度进行了讨论,得到了此时S的一个上界(此时本文我们讨论了其它取值范围以及时Sierpinski--垫S的测度和维数.对于不同范围的c分别运用不同的方法计算出了它们的维数与测度.特别的当时,运用与S相同的压缩映射族引入了一个广义Sierpinski-垫（记为S*）的概念.S*具有重叠结构,本文给出了S‘的维数与测度的一个上界.第一章绪论中我们简单介绍了分形的定义,S的测度与维数的研究现状,以及本文的主要工作.第二章简要介绍了Hausdorff测度与维数的概念及其性质.第三章介绍了自相似集的结构,自相似维数,开集条件以及具有重叠结构的自相似集等.第四章讨论了压缩比时S的Hausdorff测度与维数.通过投影与构造质量分布,将分形的射影想法融入测度的计算中,将康托集测度的计算过程与Sierpinski-垫测度的计算过程结合起来计算出S的Hausdorff测度：Hs（s）=1.第五章对压缩比时,引入广义Sierpinski-垫的概念,并运用压缩映射族给出了广义Sierpinski-垫S*的构造.证明了S*是自相似集,讨论了S*的重叠结构.得到一个序列集合c={c1,c2…cn,…}（其中ci为方程c1+1+c1+…c-1=0的解）.当c∈C时,S*具有完全重叠结构且此时dimB S*<s；而当c（?）C时,S*满足开集条件,此时
武文[10]（2013）在《一类分形集截集的维数及相关问题》文中认为本文主要讨论n维欧式空间Rn中的多模式分形集与方向向量各分量都为有理数的（n-m）-维子空间的截集问题.在一定的条件下,我们证明了截集的Hausdorff维数或者盒维数等于分形集的Hausdorff维数减m.我们还讨论了与之相关的问题.具体的说,我们考虑的多模式分形是从一个单位立方体开始构造的,其构造方式如下:将单位立方体[0,1]n等分成若干全等的小立方体,然后按照某一模式去掉一些小立方体.模式事实上是包含一些小立方体位置信息的集合.对剩下的小立方体重复上面的过程.在同一步中,不同小立方体所用的模式是一样的.在不同步中,所用的模式可能不同.将这个过程无限次的进行下去,得到极限集E,称之为由模式生成的分形.若每一步所用的模式都是同一个,那么得到的极限集是一个自相似集.若各步中所用的模式所构成的序列不是最终周期的,那么得到的极限集具有Moran结构,我们称之为多模式分形.在本文中,我们总假设在生成极限集中所用的模式与选取的子空间的方向向量之间满足一个特殊的“同余”条件,称之为（s-*）条件.在第三章中,我们考虑了自相似集E与方向向量各分量为有理数且截距也为有理数的（n-1）-维超平面的截集.在（s-*）条件下,我们证明了截集的维数等于集合E的维数减1.在第四章中,我们讨论了自相似集E与方向向量各分量为有理数但截距为无理数的（n-1）-维超平面的截集.我们证明了（s-*）条件是使得截集的典型Hausdorff维数取到Marstrand值（E的维数减1）的充分条件.在第五章中,我们证明了第三、四章中结果的高维版本,并讨论了多模式分形与方向向量各分量为有理数的（n-m）-维子空间的截集的维数.我们证明了（s-*）条件是使得截集维数取到Marstrand值（E的维数减m）的充分条件.对自相似的极限集,在（s-*）条件下我们还证明了支撑在它上面的自相似测度的投影测度μV关于m维Lebesgue测度是绝对连续的.同时还讨论了当投影测度μV关于m维Lebesgue测度是绝对连续的情况下,投影测度的局部维数与截集的盒维数之间的关系.
二、关于自相似集的Hausdorff测度（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、关于自相似集的Hausdorff测度（论文提纲范文）
（1）拟对称极小集及共形维数的研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT(英文摘要) |
| 第一章 引言及本文的主要结果 |
| 1.1 分形的概述 |
| 1.2 拟共形映射的背景及研究内容 |
| 1.3 拟对称映射的背景及研究内容 |
| 1.4 本文研究的内容及主要结果 |
| 第二章 预备知识 |
| 2.1 Hausdorff测度及Hausdorff维数 |
| 2.2 拟对称映射及共形维数 |
| 2.2.1 拟共形映射的定义及性质 |
| 2.2.2 拟对称映射的定义及性质 |
| 2.2.3 拟对称极小集及共形维数 |
| 2.3 符号空间及自相似结构 |
| 第三章 Tyson型集及Borel函数的图的拟对称极小性 |
| 3.1 研究现状及结果 |
| 3.2 定理3.1的证明 |
| 3.3 三个形变版本的Tyson型集拟对称极小性的证明 |
| 第四章 平面上一类自相似集的共形维数 |
| 4.1 研究内容及主要结果 |
| 4.2 定理4.1的证明 |
| 4.3 定理4.2的证明 |
| 4.3.1 证明思路 |
| 1的存在性'>4.3.2 常数s>1的存在性 |
| 4.3.3 X上概率测度μ的定义与性质 |
| 4.3.4 测度μ的像测度v满足公式(4-4) |
| 第五章 Sierpinski地毯S_p的共形维数的上界 |
| 5.1 研究思想及结果 |
| 5.2 S_p上一类拟对称等价的度量 |
| 5.2.1 S_p上度量的构造 |
| 5.2.2 度量的证明 |
| 5.2.3 拟对称等价的证明 |
| 5.3 定理5.1的证明 |
| 第六章 有待进一步研究的问题 |
| 参考文献 |
| 博士期间完成的论文 |
| 致谢 |
（3）Cantor函数不可微点集的子集的维数（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 分形几何概要 |
| 1.2 问题的研究背景 |
| 1.3 问题的研究现状及意义 |
| 1.4 本文概要 |
| 第二章 预备知识 |
| 2.1 关于测度 |
| 2.1.1 测度的定义 |
| 2.1.2 常用测度 |
| 2.1.3 Hausdorff测度与Packing测度 |
| 2.1.4 Hausdorff测度的一些性质与质量分布原理 |
| 2.2 各种常见维数的定义和性质 |
| 2.2.1 Hausdorff维数与Packing维数 |
| 2.2.2 Hausdorff维数的一些相关性质 |
| 2.2.3 Box维数 |
| 2.2.4 Box维数的一些相关定理和性质 |
| 2.3 关于自相似集与自仿集 |
| 2.3.1 自相似集与自仿集 |
| 2.3.2 自相似测度 |
| 2.4 关于Moran集 |
| 2.4.1 关于Moran集的构造以及分类 |
| 2.4.2 Moran集相关的维数结果 |
| 2.4.3 关于一维齐次Moran集的维数结果 |
| 2.5 Billingsley引理及其推论 |
| 第三章 集合T_(μλ)的Hausdorff维数与Packing维数 |
| 3.1 主要结果 |
| 3.2 预备引理 |
| 3.3 定理的证明 |
| 3.3.1 定理中维数的最后计算 |
| 参考文献 |
| 攻读硕士学位期间取得的研究成果 |
| 致谢 |
| 附件 |
（4）Lipschitz等价与唯一集的Hausdorff维数（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 引言 |
| 1.1 Lipschitz等价 |
| 1.1.1 自相似集与自共形集的等价问题 |
| 1.1.2 自仿集的相关工作 |
| 1.1.3 具有重叠的自相似集 |
| 1.2 计算唯一码的集合的维数 |
| 1.2.1 唯一展式 |
| 1.2.2 一般自相似集的唯一集 |
| 1.3 本文主要结果 |
| 1.4 本文组织结构 |
| 1.5 常用符号 |
| 第二章 具有完全重叠的自相似集的Lipschitz等价 |
| 2.1 预备知识 |
| 2.2 dust-like情形 |
| 2.3 {1,3,5}?{1,4,5}问题 |
| 2.4 一类完全重叠的自相似集 |
| 2.4.1 主要结论 |
| 2.4.2 几个例子 |
| 2.5 具有重叠结构的自相似集的分类 |
| 2.5.1 一个等价类 |
| 2.5.2 等价类的推广 |
| 2.5.3 定理2.13的证明 |
| 2.5.4 非等价类 |
| 第三章 唯一集维数的计算 |
| 3.1 预备知识 |
| 3.1.1 唯一码与多个码 |
| 3.2 无限迭代函数系统 |
| 3.2.1 一般空间下结论 |
| 3.2.2 (?)~d中的无限迭代函数系统 |
| 3.3 主要结论 |
| 3.4 例子 |
| 3.5 唯一集与开集条件 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 作者简历 |
| 在学期间的科研成果 |
（5）不动点理论在分形几何中的应用（论文提纲范文）
| 1 Banach压缩映射不动点定理在分形几何中的应用 |
| 2 相似压缩不动点有关理论在分形几何中的应用 |
（6）自相似集的Hausdorff测度与上凸密度的估计与计算（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 分形研究背景及现状 |
| 1.2 分形基本概念 |
| 第二章 一类正六面体的 Hausdorff 测度的计算 |
| 2.1 Hausdorff 测度研究现状 |
| 2.2 一类正六面体的 Hausdorff 测度的计算 |
| 2.3 应用 |
| 第三章 一类 Sierpinski 地毯顶点处上凸密度的估计 |
| 3.1 上凸密度有关定理概述 |
| 3.2 一类 Sierpinski 地毯顶点处上凸密度的估计 |
| 第四章 几乎处处最好覆盖与最好覆盖 |
| 4.1 直线上满足开集条件自相似集的相关定理 |
| 4.2 直线上的满足开集条件自相似集存在最好覆盖的充要条件 |
| 4.3 几乎处处最好覆盖是最好覆盖的充分条件 |
| 4.4 应用 |
| 致谢 |
| 参考文献 |
| 攻读学位期间的研究成果 |
（8）一类正六面体的Hausdorff测度的计算（论文提纲范文）
| 1基本概念 |
| 2主要结论 |
| 3例子 |
（9）广义Sierpinski-垫的Hausdorff测度与维数的研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 目录 |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 分形的定义以及测度和维数 |
| 1.2 Sierpinski-垫的测度与维数的研究现状 |
| 1.3 本文主要工作 |
| 第二章 Hausdorff测度与维数 |
| 2.1 Hausdorff测度及其性质 |
| 2.2 Hausdorff维数及其性质 |
| 第三章 自相似集 |
| 3.1 自相似集的结构与自相似维数 |
| 3.2 开集条件 |
| 3.3 具有重叠结构的自相似集 |
| 第四章 不同压缩比的Sierpinski垫的Hausdorff测度和维数 |
| 4.1 基本构造 |
| 4.2 主要结论 |
| 第五章 广义Sierpinski垫的Hausdorff维数与测度的界 |
| 5.1 基本构造 |
| 5.2 重叠结构的讨论 |
| 5.3 S~*的Hausdorff测度与维数 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 攻读学位期间发表的学术论文 |
（10）一类分形集截集的维数及相关问题（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 1 概述 |
| 1.1 引子 |
| 1.2 分形集截集的研究背景及现状 |
| 2 预备知识 |
| 2.1 测度 |
| 2.2 维数 |
| 2.3 自相似集、自相似测度 |
| 2.4 有向图集 |
| 2.5 遍历定理 |
| 3 一类自相似集的截集I：有理截距 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 截集的结构 |
| 3.3 定理3.1的证明 |
| 3.4 几个例子 |
| 4 一类自相似集的截集II：无理截距 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 预备知识 |
| 4.3 截集的盒维数 |
| 4.4 定理4.1(2)的证明 |
| 4.5 定理4.2的证明 |
| 5 一类多模式分形集的截集 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 预备知识 |
| 5.3 截集的盒维数 |
| 5.4 定理5.1的证明 |
| 5.5 多模式分形的截集 |
| 5.6 投影测度连续的情况 |
| 致谢 |
| 参考文献 |
| 附录1 攻读学位期间发表论文目录 |
| 附录2 攻读博士学位期间参与的科研项目 |
四、关于自相似集的Hausdorff测度（论文参考文献）
- [1]拟对称极小集及共形维数的研究[D]. 党云贵. 湖北大学, 2021(01)
- [2]三分Cantor集自乘积集顶点密度的数值计算[J]. 朱智伟,刘义豪,吴秋雄. 肇庆学院学报, 2020(05)
- [3]Cantor函数不可微点集的子集的维数[D]. 颜木泉. 华南理工大学, 2020(02)
- [4]Lipschitz等价与唯一集的Hausdorff维数[D]. 陈秀. 华东师范大学, 2018(12)
- [5]不动点理论在分形几何中的应用[J]. 吴娟,贺皖松. 西北民族大学学报(自然科学版), 2017(04)
- [6]自相似集的Hausdorff测度与上凸密度的估计与计算[D]. 聂饶荣. 南昌大学, 2014(02)
- [7]一类自相似集重分形分支的量纲[J]. 吴亚豪,娄曼丽. 中国科学:数学, 2014(03)
- [8]一类正六面体的Hausdorff测度的计算[J]. 聂饶荣,尹建东. 南昌大学学报(工科版), 2013(03)
- [9]广义Sierpinski-垫的Hausdorff测度与维数的研究[D]. 晋娜. 太原理工大学, 2013(03)
- [10]一类分形集截集的维数及相关问题[D]. 武文. 华中科技大学, 2013(10)
标签：相似原理论文; matlab函数论文;