一、一类具临界指数的半线性椭圆方程注（论文文献综述）
陈浩然[1]（2021）在《非线性椭圆型方程（组）边值问题的可解性》文中研究指明本文主要利用不动点定理和上、下解方法研究了非线性椭圆型方程和方程组的可解性。绪言部分主要是对偏微分方程的发展历史和背景,以及本篇论文中所用到的方法等进行了介绍。第一章研究了带小参数λ的双调和方程边值问题（?）（1.1）的可解性。这里Ω（?）Rn是一个有界光滑洞型区域,其中内边界为Γ2,外边界为Γ1。且（?）YΓ2,b>0为常数,λ为正参数。本文利用变量代换在问题（1.1）中,令-Δu=v,将问题（1.1）转换成椭圆型方程组边值问题（?）（1.2）然后利用上、下解方法以及不动点定理证明了上述问题解的存在性,并讨论了解的唯一性。第二章考察半线性椭圆型方程组（?）（2.1）这里 c（x）,d（x）是 Ω 上连续正函数,c（x）>0,d（x）>0,α,β∈（1,+∞）是常数。本文利用不动点定理对问题（2.1）解的存在性进行了研究,最后利用Green恒等式以及调和函数极值原理证明其唯一性。第三章考察有界洞型区域上的半线性椭圆型方程边界值问题#12这里常数k>1,Ω（?）Rn是一个有界洞型光滑区域,其中内边界为Γ2,外边界为Γ1,且λ1、λ2为正参数,b>0为常数,（?）。本文利用上、下解方法证明了该问题解的存在性,最后再考虑一种特殊情况,也就是当λ2为常数时,证明了解的存在性。
黄娅林[2]（2021）在《两类非局部椭圆方程变号解的存在性及集中现象》文中提出非线性椭圆方程变号解的存在性和集中现象是近期非线性分析领域关注的一类问题.本文主要利用变分方法研究Kirchhoff方程和分数阶Schrodinger方程这两类非局部椭圆方程变号解的存在性,进一步我们研究了 Kirchhoff方程变号解的集中现象.首先,我们介绍Kirchhoff方程和分数阶Schrodinger方程的背景、近期的一些研究进展及本文所需的一些预备知识.其次,我们利用变分方法研究了一类次临界增长的Kirchhoff方程变号解的多重性及其集中现象.证明了对任意给定的正整数k,当参数充分小时,Kirchhoff方程至少有k对变号解且这些变号解集中在势函数局部极小附近.最后,我们研究了一类临界增长的分数阶Schrodinger方程.证明了对任意给定的正整数k,当参数充分小时,分数阶Schrodinger方程至少有k对变号解.
李新华[3]（2020）在《惯性流形及其在耗散偏微分方程中的应用》文中提出随着无穷维动力系统理论的深入发展,许多由数学物理方程生成的耗散动力系统显现了一定的有限维属性.由此引发了一系列对无穷维动力系统进行有限维约化的研究.经典的惯性流形理论表明,如果一个偏微分方程存在一个N维惯性流形,则其长时间行为可以约化为一个N阶常微分方程组.这本质地简化了对原始偏微分方程动力学行为的理解.目前,惯性流形研究仍是无穷维动力系统中十分重要且具有挑战性的问题之一.本文研究惯性流形及其在耗散偏微分方程中的应用.首先,对T3中的临界修正Leray-α模型,我们证明了该问题惯性流形的存在性.值得注意的是,这是一个关于适定性与惯性流形的“双临界”问题.另一方面,由于此问题中存在湍流项,研究此问题的惯性流形,或许对二维Navier-Stokes方程惯性流形的理解有积极的启发意义.其次,基于由J.Mallet-Paret和G.Sell提出的空间平均方法,我们对半线性抛物系统的惯性流形及其光滑性进行了系统的研究.我们提出/设计了一种可以统一处理标量与矢量方程的通用的方法/框架,此方法可应用于大部分已知惯性流形存在的模型,并得到了一些新的结果.另外,以前的很多结果只得到Lipschitz连续的惯性流形,本文都提升到了C1+ε-光滑性.应用部分包括了带周期边界条件的反应扩散方程、各种类型的广义Cahn-Hilliard方程（比如分数阶和六阶Cahn-Hilliard方程）,以及几种修正的Navier-Stokes方程（包括Leray-α正则化、hyperviscous正则化及其组合）.其中分数阶Cahn-Hilliard方程的惯性流形以及Leray-α正则化与hyperviscous正则化结合的惯性流形的存在性在本文之前没有任何结果.最后,由于已有的惯性流形存在的例子都是考虑相对较好的方程（至少没有奇异性）,惯性流形对含有奇异项的非自治模型的普适性有待验证.在本文第五章中研究了一类奇异非自治抛物系统惯性流形的存在性:（?）其中A（t）≥0（t≥τ）,Ω（?）Rd 是具有光滑边界的有界域.由于算子A（t）可能在某些时刻退化为零,从而在这些退化时间处A（t）的逆不存在.因此,针对这类问题惯性流形的存在性,我们提出了A（t）的一个特殊允许类,以及A（t）与非线性项F的一个相容性条件,并将强锥条件推广至渐近强锥条件.
万方舒[4]（2020）在《奇异黎曼流形上椭圆方程解在奇点处的渐近行为》文中进行了进一步梳理本文主要研究奇异黎曼流形上椭圆方程解在奇点处的渐近行为。我们知道锥度量下的椭圆方程等价于在零点处奇异的退化椭圆方程,对于此类带有奇异非线性项的退化椭圆方程,我们精确地刻画了其非负解在奇点处的渐近行为,得到了相应的刘维尔定理。更进一步,我们还建立了其非负解在奇点处直至任意阶的渐近展开式。本文主要分成两个大部分。第一部分,首先证明赋予锥度量的黎曼流形上的Sobolev嵌入是紧嵌入,分别考虑孤立锥奇点和余二维锥奇点两种情形,然后利用奇异流形上的紧嵌入得到椭圆方程解的存在性以及正则性。作为比较,我们发现赋予Poincare度量的奇异流形上只成立Poincare不等式,没有相应的Sobolev不等式。第二部分,我们研究椭圆方程非负解在锥奇点处的渐近展开式。首先证明了二阶齐次和非齐次椭圆方程非负解在锥奇点处的Bocher定理,并将该结果延拓到四阶和高阶方程,最后我们得到了二阶半线性椭圆方程非负解在锥奇点处直至任意阶的渐近展开式,包括次临界和临界方程,该展开式推广了 Caffarelli,Gidas和Spruck的结果到锥度量的情形。
洪倩玉[5]（2020）在《分数阶椭圆系统解的存在性》文中研究说明非线性椭圆方程及系统是来源于自然科学及工程技术等领域问题中的数学模型.近年来,研究表明分数阶椭圆系统更能够从全局的角度考虑问题,研究意义更大.本文研究两类分数阶系统解的存在性,主要分为两大部分:一、研究一类具临界Choquard项的分数阶Brezis-Nirenberg型系统,讨论该系统在不同情形下解的存在性,将在局部情形下经典的Brezis-Nirenberg结论推广到含Choquard项的非局部问题中.当非线性项次临界增长时,利用极小化序列得到该系统正解的存在性;当非线性项临界增长时,运用山路引理得到该系统非负解的存在性;当非线性项与分数阶Laplacian的谱相互作用时,通过环绕定理得到该系统非平凡解的存在性.二、研究一类具Hardy-Sobolev临界指数的分数阶p-Laplacian系统,当系统中参数对（ζ,9）满足相应条件时,通过Nehari流形得到该系统解的存在性和多重性.由于临界情况下,紧性条件只在某水平集下成立,为得到临界值的估计,在缺乏分数阶Hardy-Sobolev不等式极小化子的明确函数情况下,本文通过极小化子的渐近估计来克服这一困难.
祝岩[6]（2020）在《几类带Neumann边界条件的非线性系统非常数正解的存在性》文中提出本学位论文运用不动点指数理论与分歧理论研究了带Neumann边界条件的非线性差分系统非常数正解的存在性和半线性椭圆系统Neumann边值问题非常数径向正解的存在性及全局结构.主要工作如下:1.利用锥上的不动点指数理论研究了带Neumann边界条件的非线性差分系统正解的存在性,进一步,通过运用楔上的不动点指数理论研究了该系统非常数正解的存在性.其中T>2是一个整数,f,g:[0,∞)×[0,∞)→[0,∞)是连续可微的并且关于每一个变量都是非减的.该部分工作考虑的系统是Bonheure等人在[J.Funct.Anal.,2013]中的所研究的系统在一维情形下的差分形式.2.考虑半线性椭圆系统非常数非减径向正解的存在性,其中￡是Laplacian算子,BR是RN中半径为R的球,N≥2.f,g,h:[0,∞)×[0,∞)×[0,∞)→[0,∞)是连续可微的并且关于每一个变量都是非减的.通过锥上的不动点指数理论获得了该系统非减径向正解所对应的不动点指数,并且通过楔上的不动点指数理论获得了该系统常数解所对应的不动点指数,由径向正解的不动点指数不等于常数解的不动点指数可知该系统至少存在一个非减的非常数径向正解.3.运用分歧理论建立了半线性椭圆系统非常数非减径向正解的全局结构,其中￡是Laplacian算子,f,g,h在无穷远处满足渐近线性增长.本节的主要方法基于Dancer的分歧理论.第一步通过Crandall-Rabinowitz局部分歧定理获得了从简单特征值处产生的正解集分支,进一步,借助楔上的指数跳跃原理和全局分歧理论确定了正解集连通分支的走向并且证明了连通分支是无界的.该部分的工作考虑的系统与Ma等人[J.Math.Anal.Appl.,2016]所研究的系统相比具有更多的方程数量,因此考虑的系统更加广泛.
王艳兰[7]（2020）在《一类具临界增长的双相变椭圆型方程解的多重性》文中研究指明随着数学物理所研究的对象在广度和深度两方面的发展,偏微分方程的应用范围更加广泛。具有变指数增长的非线性偏微分方程成为一个热门的研究课题,针对此类问题解的存在性、唯一性以及正则性有了大量的研究。在变指数Orlicz-Sobolev空间的理论框架下,本文讨论了一类具临界增长的双相变椭圆型方程解的多重性:#12其中ф∈C（RN×R+,R+）满足ф（x,t）=ф（x,t）.在t很小或很大时,ф（x,t）具有不同的增长阶。另外,右端项函数中f（x,t）满足次临界增长,p*（x）=Np（x）/（N-p（x））为临界指数,且1《α（x）≤p（x）《q（x）《min{N,p*（x）}.本文主要利用临界点理论来讨论上述方程弱解的多重性。首先,在变指数Orlicz-Sobolev空间中建立集中紧致性定理。然后,基于该集中紧致性结果并结合对称型山路定理,得到了与方程相关的能量泛函具有一列径向对称且能量值趋于无穷的临界点,从而得到了该方程弱解的多重性。
刘伟[8]（2020）在《非凸问题鞍点计算的新算法及其应用研究》文中进行了进一步梳理本文研究非凸问题鞍点计算的新算法及其应用,主要内容分为四个部分.第一部分,我们研究计算无约束鞍点的基于新的优化策略的局部极小极大方法（LMM）.首先,我们给出一类推广的局部极小极大原理,并从连续动力学的角度理解LMM能以稳定方式计算不稳定鞍点的数学本质.然后,我们在使用一般下降方向的LMM算法框架下,系统地讨论各种步长搜索准则的可行性,并建立完整的全局收敛性结果.这使得各种高效的优化策略可以应用到LMM算法中.特别地,我们提出全局收敛的Barzilai-Borwein（BB）型LMM、共轭梯度型LMM和L-BFGS型LMM三类新的LMM算法,用于改进传统LMM算法的计算效率.最后,我们将新的LMM算法应用于几类半线性椭圆边值问题、带非线性边界条件的椭圆问题和Kirchhoff型拟线性非局部问题的多解计算,并比较不同LMM算法的数值性能.广泛的数值结果表明,这三类新的LMM算法能显着地提高传统LMM算法的计算效率.第二部分,我们研究计算无约束鞍点的基于新的优化策略的虚拟几何对象型LMM（VGOLMM）.首先,基于对一类广义的VGOLMM动力系统的分析,我们提出使用一般下降方向的广义VGOLMM算法框架,并在这一框架下讨论不同步长搜索准则及相应的全局收敛性.许多高效的优化策略可以用于实现该VGOLMM算法框架.由于BB策略的简单性和高效性,我们提出使用BB型步长的VGOLMM算法.最后,我们将新的VGOLMM算法应用于散焦型非线性Schr?dinger方程和一类Allen-Cahn型奇异摄动Neumann问题的多解计算,得到了丰富的数值结果.数值结果表明,使用BB型步长的VGOLMM算法比原始VGOLMM算法的收敛更快.第三部分,我们研究计算玻色-爱因斯坦凝聚体（BEC）基态解的精确、高效的新算法.BEC的基态解通常定义为相应的Gross-Pitaevskii（GP）能量泛函在某些约束条件下的最小值点,离散归一化梯度流法（GFDN,或虚时间演化法）是计算BEC基态解的最主要的方法之一.我们以单组分BEC和spin-1 BEC模型为例,通过分析和数值实验说明,采用基于GFDN的几种典型时间离散格式计算BEC基态往往会得到误差依赖于时间步长的不准确的结果,这是本文的一个重要发现.为了改进GFDN,我们提出计算BEC基态解的带Lagrange乘子的梯度流法（GFLM）,并证明基于GFLM的各种典型的时间离散格式均能与基态解的Euler-Lagrange方程精确匹配.进一步,我们将GFLM推广到具有挑战性的一般spin-F BEC模型,并研究确定投影常数的方法.由于精确投影方法往往在计算上比较复杂或缺乏投影常数的存在唯一性保证,我们提出两类非精确投影策略,使得投影常数可以直接显式计算,并估计它们的约束违反度.最后,我们给出spin-1,spin-2和spin-3情形的广泛的数值结果以及观测到的一些非常有趣的基态现象.第四部分,我们研究计算约束鞍点的新算法并应用于BEC激发态计算.首先,我们提出计算一般约束鞍点的约束最柔上升动力学（CGAD）方法,证明其稳定平衡点是具有对应指标的约束鞍点,并对一类理想化的CGAD建立约束鞍点附近的局部指数收敛性.然后,我们将CGAD应用到BEC模型的激发态计算.由于BEC的激发态对应于GP能量泛函在某些约束条件下的能量高于基态的临界点,因此GP能量泛函的约束鞍点一定是激发态解.我们应用CGAD计算单组分BEC模型对应的GP能量泛函在单位球面约束下的鞍点,并设计基于（半隐）向后向前Euler时间离散格式和Gram-Schmidt正交规范化过程的高效数值格式.最后,我们基于一维和二维数值实验,发现了一些新的激发态解和有趣的物理现象.
李硕硕[9]（2020）在《带有指数临界增长的非局部椭圆方程解的存在性与多解性》文中认为本学位论文主要研究以下几类情形的非局部椭圆方程:非齐次非局部椭圆方程,加权的非齐次非局部椭圆方程,具周期位势的非局部椭圆方程和具高阶特征值扰动的非局部椭圆方程,利用变分方法得到了方程解的存在性和多解性.在第一章中,我们介绍了非局部椭圆方程的物理背景及国内外研究现状,并给出本文所需的预备知识以及主要结果.在第二章中,我们研究了非齐次非局部椭圆方程解的存在性和多解性,其中0<μ<2,h∈H-1（R2）,h≠0,（?）在第三章中,我们研究了加权的非齐次非局部椭圆方程解的存在性和多解性,其中μ>0,β>0,2β+μ≤2,h∈H-1（R2）,h≠0.在第四章中,我们研究了强不定的非局部椭圆方程解的存在性,其中0<μ<2,对于每个变量x1,x2,V（x）是以1为周期的连续函数,并且#12在第五章中,我们研究了非局部椭圆方程解的存在性,其中Ω是R2中的光滑有界区域,0<μ<2,λk是算子（?）的第k个特征值,k≥2.最后,我们列出了几个还需进一步探讨的问题.
姚张锋[10]（2020）在《基于纤维化方法的若干偏微分方程解的存在性》文中研究指明本文介绍了一种能有效解决一些偏微分方程问题的方法-纤维化方法（Fiber-ing method）,基于该方法,我们能够考虑如下的三类偏微分方程的解的存在性.本文共有四章.第一章详细介绍了纤维化方法,对其理论进行了证明;并通过一个简单例子对该方法的使用进行了说明.从中,我们可以看到纤维化方法对于偏微分方程非线性项是多项式形式的情况非常适用.第二章考虑了一类有临界Sobolev指数的基尔霍夫型方程:（?）其中,Ω（?）R4是一具有光滑边界（?）Ω的有界区域,a,b,λ,δ是正参数.结合Nehari流形等,我们证明了:如果λ ∈（0,aλ1）,δ ∈（6S2,+∞）,那么问题（0.1）至少存在一对非平凡解;如果λ ∈（0,aλ1）,δ ∈（0,bS2）,那么问题（0.1）没有非平凡解.第三章考虑了一类半线性椭圆边界值问题解的存在性:（?）这里,Ω是RN中一具有光滑边界的有界区域,λ>0,a,b:Ω→ R是光滑函数,且a（x）>0,b（x）≠0.结合Sobolev嵌入定理,我们得到如下结论:假设1<q<p<N-2/N-2量.如果λ ∈（0,λ1）,那么问题（0.2）至少存在一个解;如果λ=λ1并且∫b（x）|（?）1|p+1dx<0,结论仍然成立.这里,（?）1表示-△对应于齐次Dirichlet边值的第一特征值λ1的第一特征函数.第四章考虑了一类带临界指数的半线性双调和方程非平凡解的存在性:（?）在这里,Ω（?）RN是一有界光滑区域,N ≥ 5;v是边界（?）Ω的单位外法向量,λ>0,p=2N/N-4是嵌入H02（Ω）→Lp（Ω）的临界Sobolev指数.结合Brezis-Lieb引理等,我们证明了:Ω（?）RN是一有界光滑区域,p=2N/N-4,N ≥ 8.如果λ∈（0,λ1）那么问题（0.3）至少有一个非平凡解.
二、一类具临界指数的半线性椭圆方程注（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、一类具临界指数的半线性椭圆方程注（论文提纲范文）
（1）非线性椭圆型方程（组）边值问题的可解性（论文提纲范文）
| 摘要 |
| abstract |
| 绪言 |
| 第一章 一类带小参数的双调和方程边值问题的可解性 |
| 1.1 引言 |
| 1.2 解的存在性 |
| 1.3 解的唯一性 |
| 第二章 半线性椭圆型方程组边值问题的可解性 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 解的存在性 |
| 2.3 解的唯一性 |
| 第三章 有界洞型区域上一类半线性椭圆型方程的可解性 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 解的存在性 |
| 3.3 特殊情况下解的存在性 |
| 参考文献 |
| 作者简介 |
| 附录:读研期间的科研情况 |
| 致谢 |
（2）两类非局部椭圆方程变号解的存在性及集中现象（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 研究背景及现状 |
| 1.2 主要结果 |
| 1.3 记号 |
| 第2章 一类次临界Kirchhoff方程变号解的存在性和集中现象 |
| 2.1 预备知识 |
| 2.2 惩罚泛函Γ_ε(u)的Palais-Smale条件 |
| 2.3 Γ_ε的多重变号临界点的存在性 |
| 2.4 变号解的集中性和定理2.1的证明 |
| 2.5 附录 |
| 第3章 带临界指数的分数阶Schrodinger方程变号解的存在性 |
| 3.1 预备知识 |
| 3.2 惩罚和磨光泛函Γ_ε(u)的Palais-Smale条件 |
| 3.3 Γ_ε的多重变号临界点的存在性 |
| 3.4 解序列的剖面分解和排除爆破 |
| 3.5 定理3.1的证明 |
| 3.6 附录 |
| 参考文献 |
| 攻读学位期间发表的学术论文和研究成果 |
| 致谢 |
（3）惯性流形及其在耗散偏微分方程中的应用（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| Abstract |
| 第一章 前言 |
| 1.1 临界修正Leray-α模型的惯性流形 |
| 1.1.1 研究背景及研究现状 |
| 1.1.2 研究方法及主要内容 |
| 1.2 空间平均原理延拓及其应用 |
| 1.2.1 研究背景及动机 |
| 1.2.2 解决的关键问题 |
| 1.3 一类奇异非自治抛物方程的惯性流形 |
| 1.3.1 研究动机 |
| 1.3.2 主要结果 |
| 1.4 文章结构安排 |
| 1.5 展望 |
| 第二章 预备知识 |
| 2.1 本文记号 |
| 2.2 不等式 |
| 2.3 重要引理 |
| 第三章 临界修正Leray-α模型的惯性流形 |
| 3.1 基本知识 |
| 3.2 先验估计 |
| 3.2.1 稳态解的H~2估计 |
| 3.2.2 解的H~2估计 |
| 3.2.3 渐近正则性:H~4估计 |
| 3.3 适定性和全局吸引子 |
| 3.4 关于IM的抽象结果 |
| 3.5 IM的存在性 |
| 3.5.1 截断非线性项 |
| 3.5.2 主要结果的证明 |
| 第四章 空间平均原理延拓及其应用 |
| 4.1 基本知识和抽象模型 |
| 4.2 惯性流形和锥不变性 |
| 4.3 空间平均方法与强锥条件 |
| 4.4 截断过程 |
| 4.5 空间平均:周期边界条件 |
| 4.6 应用 |
| 4.6.1 标量反应扩散方程 |
| 4.6.2 Cahn-Hilliard型方程 |
| 4.6.3 修正的Navier-Stokes方程 |
| 第五章 奇异非自治反应扩散方程的惯性流形 |
| 5.1 适定性和吸引子 |
| 5.1.1 全局适定性 |
| 5.1.2 拉回H-吸引子 |
| 5.2 惯性流形与渐近强锥条件 |
| 5.2.1 主要结果的证明 |
| 5.3 应用 |
| 5.3.1 奇异扩散反应扩散方程 |
| 5.3.2 带奇异系数的Lotka-Volterra竞争模型 |
| 参考文献 |
| 在学期间的研究成果 |
| 6.1 发表的文章 |
| 6.2 完成的文章 |
| 致谢 |
（4）奇异黎曼流形上椭圆方程解在奇点处的渐近行为（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 锥度量 |
| 1.2 加权的退化椭圆方程 |
| 1.3 非负解的渐近对称性 |
| 第2章 孤立的锥奇点 |
| 2.1 Sobolev紧嵌入 |
| 2.2 锥度量下椭圆方程解的存在性 |
| 2.3 锥度量下椭圆方程解的正则性 |
| 2.3.1 解的上界估计 |
| 2.3.2 解的下界估计 |
| 2.3.3 解在锥奇点的Holder连续性 |
| 2.4 Poincare度量 |
| 2.4.1 解的存在性 |
| 2.4.2 一些反例 |
| 第3章 余2维的锥奇点 |
| 3.1 Sobolev嵌入的紧性 |
| 3.2 解的正则性 |
| 3.2.1 上界估计 |
| 3.2.2 下界估计 |
| 3.2.3 Holder连续性 |
| 3.3 Poincare度量 |
| 第4章 锥度量下椭圆方程非负解的Bocher定理 |
| 4.1 锥度量下的调和函数 |
| 4.1.1 Bocher定理 |
| 4.1.2 Liouville定理 |
| 4.2 锥度量下的泊松方程 |
| 4.3 锥度量下的高阶方程 |
| 第5章 锥度量下椭圆方程非负解的渐近展开式 |
| 5.1 锥度量下的次临界方程 |
| 5.1.1 解的渐近对称性 |
| 5.1.2 线性算子的分析 |
| 5.2 锥度量下的临界方程 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 在读期间发表的学术论文与取得的研究成果 |
（5）分数阶椭圆系统解的存在性（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景与意义 |
| 1.2 研究现状 |
| 1.2.1 Br(?)zis-Nirenberg型方程的研究现状 |
| 1.2.2 非线性椭圆系统的研究现状 |
| 1.3 研究内容 |
| 第二章 预备知识 |
| 2.1 本文的相关定义与引理 |
| 2.2 分数阶p-Laplacian算子的相关理论 |
| 2.3 基本不等式 |
| 第三章 具临界Choquard项的Br(?)zis-Nirenberg型系统 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 主要结果 |
| 3.2.1 非线性项次临界增长 |
| 3.2.2 非线性项临界增长 |
| 3.2.3 非线性项与分数阶Laplacian的谱相互作用 |
| 第四章 具Hardy-Sobolev临界指数的分数阶p-Laplacian系统 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 主要结果 |
| 4.2.1 S_(s,α)的极小化子及其相关估计 |
| 4.2.2 Nehari流形 |
| 4.2.3 紧性条件 |
| 4.2.4 定理4.1的证明 |
| 第五章 总结与展望 |
| 5.1 全文总结 |
| 5.2 工作展望 |
| 致谢 |
| 参考文献 |
| 附录: 作者在攻读硕士期间发表的论文 |
（6）几类带Neumann边界条件的非线性系统非常数正解的存在性（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 前言 |
| 第1节 具有Neumann边界条件的二阶差分系统非常数正解的存在性 |
| 1.1 引言 |
| 1.2 预备知识 |
| 1.3 非负解的存在性 |
| 1.4 非常数正解的存在性 |
| 第2节 半线性椭圆系统Neumann问题非常数径向正解的存在性 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 椭圆系统径向正解的存在性 |
| 2.3 椭圆系统非常数径向正解的存在性 |
| 第3节 半线性椭圆系统Neumann边值问题非常数径向正解的全局结构 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 预备知识 |
| 3.3 主要结果的证明 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 个人简历、在学期间发表的学术论文及研究成果 |
（7）一类具临界增长的双相变椭圆型方程解的多重性（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 课题来源及研究的背景和意义 |
| 1.2 国内外研究现状及分析 |
| 1.3 本文主要研究内容 |
| 第2章 预备知识 |
| 2.1 变指数函数空间 |
| 2.2 变指数函数空间的相关结论 |
| 2.3 本章小结 |
| 第3章 具临界增长的双相变椭圆方程解的多重性 |
| 3.1 测度论及临界点理论相关定义 |
| 3.2 集中紧致性定理 |
| 3.3 方程多重解的存在性 |
| 3.4 本章小结 |
| 结论 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
（8）非凸问题鞍点计算的新算法及其应用研究（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| ABSTRACT |
| 1 绪论 |
| 第二章 基于新的优化策略的局部极小极大方法(LMM) |
| 2.1 推广的局部极小极大原理与LMM的动力学观点 |
| 2.1.1 推广的局部极小极大原理 |
| 2.1.2 LMM的动力学观点 |
| 2.2 使用一般下降方向的LMM算法及其全局收敛性 |
| 2.2.1 使用一般下降方向的LMM算法框架 |
| 2.2.2 标准化Armijo、Goldstein和Wolfe-Powell型搜索准则 |
| 2.2.3 非单调搜索准则 |
| 2.2.4 全局收敛性分析 |
| 2.3 三类高效的LMM算法 |
| 2.3.1 全局收敛的Barzilai-Borwein型LMM(GBBLMM) |
| 2.3.2 共轭梯度型LMM(CGLMM) |
| 2.3.3 L-BFGS型LMM(LBFGSLMM) |
| 2.4 应用于非线性边值问题的多解计算 |
| 2.4.1 半线性椭圆Dirichlet边值问题 |
| 2.4.2 带非线性边界条件的椭圆问题 |
| 2.4.3 Kirchhoff型拟线性非局部问题 |
| 第三章 基于新的优化策略的虚拟几何对象型LMM |
| 3.1 使用虚拟几何对象的LMM(VGOLMM)介绍 |
| 3.2 基于广义VGOLMM动力系统的局部极小极大原理 |
| 3.3 基于新的优化策略的VGOLMM及其全局收敛性 |
| 3.3.1 广义VGOLMM算法框架 |
| 3.3.2 几种典型的搜索准则 |
| 3.3.3 全局收敛性分析 |
| 3.3.4 基于BB型步长的VGOLMM算法 |
| 3.3.5 虚拟曲线的实现方法 |
| 3.4 应用于几类W-型问题的多解计算 |
| 3.4.1 散焦型非线性Schr?dinger方程 |
| 3.4.2 Allen-Cahn型奇异摄动Neumann问题 |
| 第四章 计算玻色-爱因斯坦凝聚体基态解的新算法 |
| 4.1 GFDN方法的局限性及其改进:带 Lagrange乘子的梯度流法(GFLM) |
| 4.1.1 计算单组分BEC基态解的GFDN方法介绍 |
| 4.1.2 计算单组分BEC基态解的GFLM方法 |
| 4.1.3 多组分BEC情形(以spin-1 BEC为例) |
| 4.1.4 spin-1 BEC的数值结果 |
| 4.2 计算一般spin-F BEC基态解的GFLM方法 |
| 4.2.1 一般spin-F BEC的数学模型和一类广义的CNGF |
| 4.2.2 计算一般spin-F BEC基态解的GFLM算法框架 |
| 4.2.3 非精确投影策略及其约束违反度估计 |
| 4.2.4 数值结果 |
| 第五章 计算约束鞍点的新算法和BEC激发态模拟 |
| 5.1 约束鞍点的定义与不稳定性指标 |
| 5.2 计算一般约束鞍点的约束最柔上升动力学(CGAD)方法 |
| 5.2.1 最柔上升动力学(GAD)介绍 |
| 5.2.2 约束最柔上升动力学(CGAD) |
| 5.2.3 计算高指标约束鞍点的CGAD |
| 5.3 应用CGAD方法计算单组分BEC激发态 |
| 5.3.1 线性单组分BEC模型的激发态性质 |
| 5.3.2 计算单组分BEC激发态的CGAD及其离散格式 |
| 5.3.3 数值结果 |
| 总结和未来工作展望 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间完成论文情况 |
| 致谢 |
（9）带有指数临界增长的非局部椭圆方程解的存在性与多解性（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 问题背景 |
| 1.2 主要结果 |
| 1.3 基本概念 |
| 第二章 一类非齐次非局部椭圆方程解的存在性和多解性 |
| 2.1 问题介绍和主要结果 |
| 2.2 定理的证明 |
| 2.2.1 能量泛函的几何结构 |
| 2.2.2 (PS)序列的收敛性 |
| 2.2.3 解的存在性和多解性 |
| 第三章 一类加权的非齐次非局部椭圆方程解的存在性和多解性 |
| 3.1 问题介绍和主要结果 |
| 3.2 定理的证明 |
| 3.2.1 能量泛函的几何结构 |
| 3.2.2 (PS)序列的收敛性 |
| 3.2.3 能量泛函估计 |
| 3.2.4 解的存在性和多解性 |
| 第四章 一类具周期位势的非局部椭圆方程解的存在性 |
| 4.1 问题介绍和主要结果 |
| 4.2 定理的证明 |
| 4.2.1 预备知识 |
| 4.2.2 环绕结构和(PS)序列 |
| 4.2.3 解的存在性 |
| 第五章 一类具高阶特征值扰动的非局部椭圆方程解的存在性 |
| 5.1 问题介绍和主要结果 |
| 5.2 定理的证明 |
| 5.2.1 预备知识 |
| 5.2.2 能量泛函估计与(PS)序列有界性 |
| 5.2.3 解的存在性 |
| 总结和展望 |
| 参考文献 |
| 攻读学位期间取得的研究成果 |
| 致谢 |
（10）基于纤维化方法的若干偏微分方程解的存在性（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 Fibering方法及应用实例 |
| 1.1 Fibering方法 |
| 1.2 一个简单例子:Poisson方程 |
| 第二章 基尔霍夫型方程及方程的解 |
| 2.1 基尔霍夫型方程 |
| 2.2 一类拟线性基尔霍夫型方程Dirichlet问题解的存在性 |
| 2.3 小结 |
| 第三章 一类半线性椭圆方程及方程的解 |
| 3.1 一类半线性椭圆方程 |
| 3.2 半线性椭圆边界值问题解的存在性 |
| 第四章 双调和方程及方程的解 |
| 4.1 双调和方程 |
| 4.2 一类带临界指数的半线性双调和方程非平凡解的存在性 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
四、一类具临界指数的半线性椭圆方程注（论文参考文献）
- [1]非线性椭圆型方程（组）边值问题的可解性[D]. 陈浩然. 安庆师范大学, 2021(12)
- [2]两类非局部椭圆方程变号解的存在性及集中现象[D]. 黄娅林. 云南师范大学, 2021(08)
- [3]惯性流形及其在耗散偏微分方程中的应用[D]. 李新华. 兰州大学, 2020(04)
- [4]奇异黎曼流形上椭圆方程解在奇点处的渐近行为[D]. 万方舒. 中国科学技术大学, 2020(01)
- [5]分数阶椭圆系统解的存在性[D]. 洪倩玉. 江南大学, 2020(01)
- [6]几类带Neumann边界条件的非线性系统非常数正解的存在性[D]. 祝岩. 西北师范大学, 2020(01)
- [7]一类具临界增长的双相变椭圆型方程解的多重性[D]. 王艳兰. 哈尔滨工业大学, 2020(02)
- [8]非凸问题鞍点计算的新算法及其应用研究[D]. 刘伟. 湖南师范大学, 2020(01)
- [9]带有指数临界增长的非局部椭圆方程解的存在性与多解性[D]. 李硕硕. 浙江师范大学, 2020(01)
- [10]基于纤维化方法的若干偏微分方程解的存在性[D]. 姚张锋. 华东师范大学, 2020(10)