一、非线性波方程的多辛五点格式（论文文献综述）
何育宇[1]（2021）在《几类非线性偏微分方程的高精度有限差分格式研究》文中指出非线性偏微分方程的数值方法已广泛应用于现代科学与工程领域中,然而绝大多数数值方法收敛精度低、效率慢等,无法满足实际工程应用中.因此高精度算法的研究在工程计算中非常重要.本文应用有限差分法具体研究了广义Rosenau-Kd V（GRKd V）方程、耗散广义对称正则长波（DGSRLW）方程、对称正则长波（SRLW）方程和非线性耦合Schr?dinger（CNLS）方程的高精度数值算法.首先,对GRKd V方程构造了一种三层线性高精度差分格式,利用离散能量法证明了格式的守恒性、解的有界性和唯一可解性、格式的稳定性和L∞-范数下O（τ2+h4）的收敛阶.数值算例验证了理论分析和格式求解的有效性,并很好地应用到求解Kd V方程.其次,对DGSRLW方程讨论了方程解的性质,构造了两种分别为两层非线性耦合和三层线性解耦高精度差分格式,利用离散能量法证明了两个格式的能量耗散性、解的有界性、存在性和唯一性、格式的稳定性和L∞-范数和L2-范数下O（τ2+h4）的收敛阶.对两层非线性耦合格式设计了一种收敛迭代算法并证明了其收敛性.数值实验中研究了取不同阻尼系数时波-波正面碰撞和追赶碰撞的演化以及碰撞系统的总能量耗散的变化.然后,对SRLW方程构造了一种四层线性高精度紧致差分格式,利用离散能量法证明了格式的守恒性、解的有界性和唯一可解性、格式的稳定性和L∞-范数下O（τ2+h4）的收敛阶.数值算例验证了紧致格式的守恒性、收敛精度和稳定性,研究了波-波正面碰撞和追赶碰撞的演化.最后,对CNLS方程构造了一种两层非线性耦合高精度差分格式,利用离散能量法证明了格式的守恒性、解的有界性、存在性和唯一性、格式的稳定性和L∞-范数下O（τ2+h4）的收敛阶.设计了一种收敛迭代算法并证明了其收敛性.数值算例验证了理论分析,研究了两个孤子的三种碰撞情形,模拟结果与文献[51,57,67]研究结果相吻合.
石瑶[2]（2020）在《几类分数阶偏微分方程的守恒数值方法》文中研究说明分数阶偏微分方程是整数阶偏微分方程的一种推广和延伸,能够有效描述具有遗传特性或记忆现象的独特性质,在过去二十年里被广泛应用于反常扩散、黏弹性力学、量子力学、等离子体以及系统识别等领域。通常,分数阶偏微分方程的精确解很难求出,或者即使能够求出也往往含有一些复杂且难以计算的特殊函数（如Mittag-Leffler函数、Wright函数以及超几何函数等）,给实际应用带来了很大的困难。因此,构造求解分数阶偏微分方程的高效数值方法具有重要的理论和实际应用价值。本文主要研究物理学中的几类分数阶偏微分方程的初边值问题,给出新的数值方法并分析数值解的相关性质。值得一提的是,这些物理学中的经典问题往往具有守恒量,在构造数值方法的过程中保持这些守恒特性将极大地提高数值方法的准确性和有效性。以此为出发点,本文的主要工作如下:第一章简单地介绍分数阶微积分发展的历程和课题研究的意义,描述本文考虑的几类方程的物理背景和研究现状,并概括论文的主要研究内容。第二章给出空间分数阶Klein-Gordon-Schr¨odinger方程在Dirichlet边界条件下的高阶守恒差分格式。首先证明所给格式满足电荷量和能量守恒律。然后通过离散能量方法分析数值格式的先验界和最大模收敛性。最后用数值算例验证所构造格式的守恒性和收敛性。第三章针对一类带双分数阶的非线性Zakharov方程,导出它的两个守恒量,提出一个自封闭的三层线性差分格式,并且讨论格式的守恒能力和精度。通过数值算例验证方法的有效性,并分析两个分数阶阶数对某些孤波解行为的影响。第四章研究一类耦合分数阶Schr¨odinger-Boussinesq方程的初边值问题。首先,引入新变量得到低阶方程组,然后利用紧技巧对方程组中的空间导数进行离散,构建分数阶Schr¨odinger-Boussinesq方程的三点紧差分格式。接着基于离散守恒律得到数值解的先验估计,并通过离散能量方法证明数值解的存在性和收敛性。最后利用数值实验证明格式的有效性,并验证差分格式的理论分析精度。第五章主要研究周期边界条件下带阻尼项的空间分数阶Schr¨odinger方程的Fourier谱方法。首先,通过变量替换得到等价方程,并给出等价方程所遵循的质量和能量守恒律。然后,利用Fourier谱方法对空间变量进行离散,建立空间半离散Fourier谱格式,进而分析它的守恒性和收敛性。接下来,在时间方向上采用Crank-Nicolson差分公式进行离散,建立全离散Fourier谱格式,证明全离散格式也具有守恒性质。对数值解进行误差分析,证明此格式在时间方向具有二阶精度,在空间方向具有谱精度。最后,利用一些数值算例验证理论结果的正确性,并通过直观图像观察分数阶阶数和阻尼系数对某些孤波解行为的影响。
花艳菲[3]（2020）在《基于符号计算的非线性发展方程多种精确解及可积性研究》文中提出非线性发展方程被广泛地应用于描述浅水波、非线性光学、玻色-爱因斯坦凝聚、等离子体等领域中的非线性现象,求解此类方程对解释各种非线性现象有着重要意义。近年来,求解非线性发展方程的精确解已经成为孤子理论研究的热点。随着孤子理论的发展,人们提出了Hirota双线性方法,反散射变换法,黎曼-希尔伯特方法等许多有效的求解手段。在求精确解过程中,常出现大量有规律、重复的计算,借助符号计算,可以提高计算的速度和精准性,便于检验查证。本文基于符号计算,以Hirota双线性方法作为主要研究方法,构造并研究了一个具有代表意义的（2+1）-维广义非线性发展方程,具体研究内容如下:（1）应用Hirota双线性方法,探究该方程的单孤子,双孤子与三孤子解的解析形式。利用软件绘制出单,双及三孤子解的图像,并分析其运动机制;（2）借助双线性方程的线性叠加原理与共振解的性质特征,判断该方程不具有共振解;（3）利用试探函数法,对设定为正二次函数叠加指数函数,或叠加双曲余弦函数的双线性方程解的形式计算求解,分别得到该方程的lump-kink型和lump-soliton型相互作用解的解析式。通过对两种解的表达式的分析,得到相互作用过程的渐近性质,并研究解的速度、极限与极值。基于数值模拟,研究两种相互作用解的运动过程并分析解的作用机制及动力学特征;（4）借助Hirota双线性方法与Bell多项式,得到该方程的贝尔多项式型B?cklund变换。由该变换,得到Lax对,判断出该方程Lax可积。将Lax对做级数展开,导出无穷守恒律,由此得出该方程的可积性质。本文的创新点在于:（1）分析了该方程的孤子解、共振解、lump-kink型相互作用解与lump-soliton型相互作用解的解析形式、渐近性质及动力学特征,展现解的多样性;（2）综合应用Hirota双线性方法、试探函数法、Bell多项式方法等多种方法,探究方程的多种精确解和可积性质;（3）求出的解有实际应用价值,如lump-kink型相互作用解可用于解释浅水波、非线性光学等领域的非线性现象,lump-soliton型相互作用解可用于预测光学怪波、金融怪波等的出现。
杨晨琛[4]（2019）在《基于特征线差分法的水下爆炸近场非等熵流研究》文中指出水下爆炸现象广泛应用于民用建设与军事工业,是水下爆破与拆除、水下爆炸焊接、水中兵器毁伤、水面舰艇抗爆设计的基础问题。随着计算机技术的飞速发展,用大量数值模拟配合少量关键实验,渐渐成为水下爆炸研究的重要手段。针对水下爆炸中的特定问题、特定目标,基于某种算法或多算法耦合的自编程序可以提供具有特色的研究视角。特征线差分法具有物理意义明确、数值精度高、计算效率高和可回溯计算的优点,但水下爆炸流场是典型的非等熵流场,以往特征线差分法的局限性较大。在上述背景下,本文以改进以往的特征线差分法为目的,从以下三个方面展开了研究工作:首先,为了改进特征线差分法,本文在理论和算法两个层面分别进行研究。在理论层面,针对以往特征线方程求解非等熵流问题的困难,通过对非等熵可压缩流的物理过程分析,提出了声波不一定等熵的概念,据此定义了“真声速”和“拟声速”;然后采用标准方法导出了二维定常非等熵流的真特征线方程,进一步推演出了一系列“拟特征线差分法”;通过基于等熵声速的拟特征线方程,明确了熵变对特征线的贡献,体现了非等熵流的物理实质。在算法层面,针对以往算法难以同时保证稳定性与严格依赖域的弊端,本文构造了能使两者兼备的推进求解策略;并在此基础上引入自适应网格技术,避免了同族特征线交叉的问题;另推导出Mie-Gruneisen状态方程等熵线的显式解,使得声速和特征线可以准确且快速地计算。基于以上特征线理论及其算法的研究,最终获得了适用于求解非等熵流场的改进的特征线差分法。其次,基于上述特征线差分法的研究,本文开发了球对称以及轴对称非等熵流的高效特征线差分程序。通过模拟球形与柱形、理想与非理想炸药的水下爆炸近场流动,再与实验数据和商业软件Autodyn结果的对比,验证了上述算法的准确性和时间经济性。将获得的特征网应用于分析水下爆炸流场,划定了可以影响决定近场冲击波的爆轰产物膨胀区间;基于含铝炸药非理想爆轰的改进Miller模型,通过特征网实现了对铝粉后燃效应所造成的水中流场增压效果的追踪,进而明确了铝粉后燃对冲击波能量输出的影响范围,体现了特征线差分法的优势。最后,基于特征线算法可回溯计算的特点,本文完善了以水下爆炸试验反演标定爆轰产物状态方程的方法。针对球形装药和柱形装药两种模型,本文提出了一种“逆特征线法反演”结合“遗传算法优化”的反演标定方案:所需的原始实验数据是获取难度不大的近场冲击波轨迹曲线和中场某测点的压力时程曲线。其中,逆特征线差分法用于水中流场的反演计算,遗传算法用于爆轰产物状态方程参数的优化计算。从最终的标定效果看,这种联合了冲击波数据与测点时程压力数据的方案,可以明显地拓宽对爆轰产物膨胀信息的获取范围,以及被标定JWL状态方程的适用范围。多种炸药算例的结果显示:在产物压力降至0.01 GPa之前的范围与原方程的误差在3%以下,优于测压下限约0.1 GPa的标准圆筒试验,即该方案也适用于测定爆轰产物低压区的膨胀规律。
尹婷婷[5]（2018）在《基于时（-空联合）辛结构理论的若干动力学问题研究》文中研究说明非线性在自然界中广泛存在,是复杂动力学系统最重要的特征之一。长期以来,力学家和数学家关注各种各样的非线性现象,借助力学原理和数学手段,寻求力学领域中非线性动力学问题的求解新途径。对于非线性动力学系统的计算问题,传统的数值计算方法很难保持系统固有的、真实的物理特性,从而失去了求解非线性问题的根本意义,这是学术界面临的主要困难之一。哈密尔顿（Hamilton）体系下的辛几何方法作为一种理性的保结构求解方法,能够很好地保持系统的辛性、能量守恒性、首次积分等几何特性,并且较传统算法而言数值计算过程更加稳定,长时间数值模拟也更加准确。因此,在Hamilton理论体系下,本论文以针对有限维Hamilton系统的辛结构理论和针对无限维Hamilton系统的时-空联合辛结构理论为研究基础,在以下两类前沿动力学问题保结构分析方面取得了一系列研究进展:利用辛理论研究空间太阳能电站系统中的基本组成构件及其组合结构轨道、姿态之间的耦合动力学行为;利用广义多辛算法研究描述空间太阳能电站结构中非线性弹性波传播过程中周期微扰下含弱线性阻尼非线性Schr（?）dinger方程的重要非线性特性。具体的研究内容如下:1、以空间结构中某些具有大刚度、小尺寸特征的连接件在轨组装之前轨道与姿态调整问题为研究基础,采用辛Runge-Kutta方法模拟了刚性梁轨道、姿态耦合动力学模型的力学行为,从刚性梁的轨道半径、真近角和姿态角演化过程的数值计算结果中发现,随着初始姿态角速度的增加,梁轨道与姿态之间的耦合效应进一步加剧;通过记录每一时间步内系统总能量的相对误差,并与传统Runge-Kutta方法的计算结果进行对比,间接地验证了所得到数值结果的可信性,同时也验证了辛Runge-Kutta方法的长时间数值计算的稳定性特征。2、由于空间构件之间不是孤立工作的,以空间太阳帆塔在轨运行中遇到的强耦合动力学问题为研究背景,建立空间组合结构的简化模型,即空间刚性杆-弹簧模型,通过数值模拟结果验证地球非球摄动中的带谐项摄动、田谐项摄动对空间组合结构简化模型的轨道、姿态的偏移产生的影响;辛Runge-Kutta方法可以更好地模拟空间刚性杆-弹簧组合结构简化模型在地球非球摄动影响下的运动行为,可以长时间保持系统的总能量不变,为超大空间结构实时反馈控制策略设计提供参考数据。3、在研究单个刚性构件和组合结构动力学性能的基础上,以空间太阳能电站接收器自旋展开问题为背景,在考虑瑞利阻尼的情况下建立任意相控阵空间太阳能电站（solar power satellite via Arbitrarily Large Phased Array,简称SPS-ALPHA）太阳能接收器的简化模型,采用辛Runge-Kutta方法模拟其展开过程并进行结构响应分析。根据结构阻尼的具体形式,利用经典阻尼系统中质量阵、刚度阵和阻尼阵的相互关系进行转化,基于分离变换原理将含瑞利阻尼的模型形式上转化为无阻尼的系统模型,并采用辛Runge-Kutta方法求解改进的非线性动力学方程,得到结构的动力响应曲线,并模拟分析结构振动特性及能量保持的情况。数值模拟结果验证,与经典Runge-Kutta方法相比较而言,辛Runge-Kutta方法能更好地处理SPS-ALPHA太阳能接收器简化模型自旋展开过程中的约束违约问题,并且在计算过程中具有良好的数值稳定性。4、为了进一步考虑超大空间结构的柔性振动及结构阻尼效应,采用保结构思想研究超大柔性阻尼结构中的振动特性以及非线性波在超大空间结构构件中的传播特性,将描述有限维动力学系统整体几何性质的辛结构推广至描述无限维动力学系统的时-空联合辛结构,并构造相应的保结构数值格式,研究无限维动力学系统的局部非线性特性。以描述非线性波动问题的非线性Schr（?）dinger方程为例,基于广义多辛理论,考虑系统阻尼和外界周期微扰下,建立了含阻尼非线性Schr（?）dinger方程的动力学模型,并着重分析该非保守系统中的守恒性质及在广义多辛分析过程中的保持情况,推导周期扰动下含线性阻尼非线性Schr（?）dinger方程的局部能量、局部动量损失表达式及其近似对称形式,并在此基础上分析非线性Schr（?）dinger方程中特有的非线性现象-多孤子分裂过程,得到相关的Zakharov-Shabat谱问题离散特征值的分裂情况,进一步揭示广义多辛分析方法在重现耗散系统局部几何特性方面的优越性,为系统揭示空间太阳能电站结构构件中非线性波传播特性提供新途径。
王博[6]（2018）在《几类波传播偏微分方程有效数值方法研究》文中进行了进一步梳理在自然界、国民经济以及军事科技等领域,偏微分方程在描述事物发展运动规律方面发挥着至关重要的作用.随着物理以及其他学科所研究的对象在深度和广度两方面的扩展,其应用范围更加广泛,它可以对各种各样的现象进行建模,比如:热学、量子力学、流体动力学等等.波传播偏微分方程可以用来描述自然世界以及物理世界中的许多波动现象,比如对波在声学、电磁学和流体力学中的传播进行模拟.然而,对大多数的偏微分方程,特别是非线性方程,一般情况下用分析的方法得其精确解或解析解是十分困难的.随着软件技术和计算机硬件的飞速发展,数值模拟日益成为求解偏微分方程的重要方法[2,35].本文主要研究了三类求解波传播偏微分方程有效数值方法,这三类方程分别为:薛定谔方程,磁化等离子体中耦合电流的麦克斯韦方程组和正则长波方程.薛定谔方程是由奥地利物理学家于1926年提出,用于描述量子力学中波函数的运动方程.它揭露了微观物理世界中物质运动的基本规律[20],如同牛顿第二定律在经典力学中所起的作用一样,它是原子物理中处理一切非相对论问题的非常有力的一个工具,在原子、分子、流体物理、凝聚态物理、核物理等方面被广泛应用.薛定谔方程通常被称为孤子波动方程,是一种表达物理学系统发展的偏微分方程.非线性薛定谔方程[117]在非线性物理中有着很多成功的应用[22,74,75,120],如非线性光学、玻色-爱因斯坦凝聚（BEC）、等离子体物理以及流体力学、激光脉冲中的自聚焦、晶体中的热脉冲传播等系统中的非线性波动问题都能用非线性薛定谔方程计算[4,20,26,48,70,99,122].基于上述原因,建立一个有效求解薛定谔方程的数值方法便成了 一项重要任务.关于薛定谔方程初边值问题的数值解已经有很多的研究,比如不连续的Galerkin方法[73,140],有限元方法[10,51,62],谱方法[13,76],Meshless 方法[37],Split-step 方法[36,98].近年来,薛定谔方程的紧致有限差分方法引起了人们很大的兴趣.一般情况下,普通的Crank-Nicolson格式（如[135]）在求解高维或者大区域的薛定谔方程的实际问题时会带来巨大的计算量.因此,提出一种守恒紧致分裂步有限差分格式来求解高维薛定谔方程非常重要.据我们所知,许多物理问题定义在无界区域,因此研究无界区域的薛定谔方程更具有实际应用性.然而,计算区域的无界性给数值计算带来很大的挑战,因为一般基于区域的方法,比如有限差分或者有限元方法,仅仅能够处理有限维度的系统,当计算区域是无界时,这些方法是不可能求解的.为了数值求解定义在无界区域的微分方程,一般情况下考虑有限子区域和强加一个人工边界条件[8,15,40,90,110,157].但是在构造离散人工条件方面有一定的困难,特别是对于非线性方程.离散的人工边界条件经常会破坏整个有限差分格式的稳定性,比如,用于薛定谔方程的Crank-Nicolson方法的无条件稳定性被破坏[129].而且,在人工边界处可能会引起数值震荡.对于无界区域的非线性薛定谔方程来说,构造无条件稳定并且在边界处不引起任何震荡的数值格式是一件很重要的研究工作.等离子体物理是20世纪30年代开始发展起来的研究等离子体与电磁场及其它物质形态相互作用的一门学科.等离子体与电磁波的相互作用,即电磁波在等离子体中的透射、反射和衰减等问题,一直都是非常有实际意义的一个研究领域.近年来,等离子体技术在等离子体天线、等离子体波导、飞行器隐身和“捷变镜”雷达等领域的应用研究日益受到各军事大国的重视,其原理就是利用电磁波与等离子体相互作用的特性,以等离子体材料替代或者对原有工作设备加以改进,实现或提高新的性能以满足不断增长的工业和军事需求[55,56,72,130,147].电磁波与等离子体之间的相互作用最早追溯到1957年苏联发射人造卫星,这是人类第一次获得有关电磁波与等离子体之间相互作用的资料[126].从这之后,电磁波与等离子体相互作用的研究不断发展,从最初仅关注等离子体中电磁波的传播理论,发展到现在广泛的实际应用与更深的理论研究,例如:表面波等离子体,等离子体隐身,等离子体与太赫兹频段电磁波的相互作用,等离子体天线等.磁化等离子体可利用耦合线性电流模型的非平稳麦克斯韦方程组来建模.目前已经有一些显式时域有限差分（FDTD）方法来分析电磁波辐射,例如:递归卷积的FDTD[69,88],分段线性电流密度递归卷积（PLCDRC）FDTD方法[85,86],电场和电流密度卷积（JEC）的显式FDTD方法[138,139]等等.其实早在1966年,Yee在[144]中提出了时域有限差分方法求解经典麦克斯韦方程组.但是基于交错网格和中心差分的显式Yee格式,存在难以忽视的弊端,即它是条件稳定的,也就是说时间步长受到CFL稳定性条件的限制.对于要求几何细节和高质量因子的应用来说,这种限制使得显式格式不太实用[127].为了克服CFL条件的局限性,在求解磁化等离子体模型的时域有限差分方面,部分研究者提出了无条件稳定的算法,比如:[31,136]提出了一步蛙跳交替方向隐式FDTD方法,Hosseini[65]等人提出了一种具有局部无条件稳定性的三步一维FDTD方法.但这些方法能量是不守恒的.构造具有能量守恒特征且无条件稳定的数值算法对于等离子体材料中的麦克斯韦方程组的计算具有很重要的意义,保持离散情形下等离子体材料中电磁场的能量恒等式使得能够更加可靠和有效地对实际的物理问题进行模拟,因此提出一种计算各向异性磁化等离子体中电磁波传播的能量守恒的且无条件稳定的FDTD格式是一项重要而困难的任务.正则长波方程RLW（Regularized Long Wave）是包含时间变量的许多重要的偏微分方程之一,常用于研究非线性色散介质流体中长波的单向传播.它最初由Peregrine于1966年首次提出[102].正则长波方程在物理科学、工程等许多领域中起着非常重要的作用,如在孤立子、浅水中的非线性横波,等离子体中的离子波和磁流体动力波,弹性杆中的纵向色散波和非线性晶体中的声包[17,18]中广泛使用.正则长波方程的非线性项使得很难求解它的解析解,所以很多专家运用不同的方法在求解数值解方面做出了大量的研究.在最近的几十年中,学者们给出了许多方法讨论正则长波方程的数值解,如有限元方法、Meshless分配方法、多辛算法、样条法、拟谱法、有限差分方法等等,具体见参考文献[23,27,33,38,49,54,57,71,92-94,101,107,114].由于正则长波方程中非线性项的存在,一些学者提出了时空二阶的有限差分格式[101],但是,研究和分析正则长波方程守恒的高阶紧致有限差分格式还是一个困难的研究课题.Li和Vu-Quoc在[79]中提到,“在一些领域,保留原始微分方程的某些不变性质的能力是判断数值模拟成功的标准.”在实际计算中,较好的算法应尽可能地保持原问题的某些内在物理特性.因此,构建能量守恒格式是确保得到精确数值解的关键,其保留了重要的物理特性,特别是对于长时间波传播.在计算薛定谔方程、电磁波方程、正则长波方程[29,41,96]的数值解时,提出保持离散意义下的能量恒等式的数值算法是至关重要的.本文对三类波传播偏微分方程进行了数值方法开发研究.基于问题的背景和方程的内在结构,提出了一系列卓有成效的无条件稳定的有效数值格式,理论分析其能量守恒性质、数值稳定性质、收敛性和误差估计,并进行数值实验研究和非线性波实际传播数值模拟研究。全文分为六章,组织结构如下:在第一章中,我们考虑Dirichlet边界条件的二维线性薛定谔方程.Liao和Tian等人[81,131]构造了紧致ADI方法求解线性薛定谔方程,然而,这些二维ADI格式不能保持能量守恒.在本章中,结合分裂技巧和高阶紧致算子,我们提出了一种新的守恒分裂四阶紧致有限差分格式,它具有电荷守恒和能量守恒的性质.在分裂过程中,我们将方程分裂为x-或y-方向,为了得到时间二阶的收敛率,我们的分裂格式为三步方法.在分裂方程的两端应用四阶空间紧致算子,这确保得到了空间四阶收敛率.在分裂的每一步,可以得到一个对称的三对角方程组,这使得方程组很容易由Thomas方法求解.我们严格证明了所提格式满足电荷和能量守恒,并且是无条件稳定的.四阶紧致差分算子仅仅利用了x-和y-方向的三个点,这使得计算近边界网格点时,紧算子不会越过计算区域,同时保证了边界处不会有电荷损失.我们证明了格式满足空间四阶和时间二阶的最优误差估计.格式很容易实现并且可以推广到求解高维问题.数值算例表明格式满足电荷和能量守恒,并且收敛阶和理论分析结果一致.此外,我们的格式完美地模拟了瞬态高.斯分布碰撞和分离的物理运动.在第二章中,我们考虑二维非线性薛定谔方程.非线性薛定谔方程常用来描述和预测重要非线性波和非线性效应的传播,比如涡旋和孤子.Spotz等人[119]提出时变问题的一种稳态高阶紧致差分方法.Caplan等人[24]描述了一个易于实现的拉普拉斯算子的两步高阶紧格式,并且将其应用到显式有限差分格式来模拟非线性薛定谔方程.但是,这几种格式都不满足物理守恒定律.因此,提出一种守恒紧致分裂步有限差分格式求解高维非线性薛定谔方程是很重要的,而且是很困难的研究任务.在本章中,我们结合算子分裂技术提出一种新的守恒四阶紧致分裂步的有限差分格式来分析求解二维非线性薛定谔方程.我们研究工作的特色在于所提非线性格式是守恒的、无条件稳定的,并且通过引入紧致差分算子离散空间方向,在不增加计算消耗的情况下,使得空间收敛率得到提高.在每一个时间步,我们将方程分裂为线性部分和非线性部分.对于非线性部分,我们可以直接求解.对于线性部分,我们采用空间分裂求解.我们严格证明了我们求解的非线性薛定谔方程的新格式满足电荷守恒,并且是无条件稳定的.我们进一步证明了我们的格式在离散的L2范数意义下,具有空间四阶收敛率和时间二阶收敛率.数值算例验证了我们的理论分析结果.并且研究不同聚焦参数β的非线性波的传播物理现象.在第三章中,我们考虑无界区域上的非线性薛定谔方程.研究无界区域上的物理问题,具有很重要的现实意义.无界区域上非线性薛定谔方程的数值方法和其理论分析是重要和困难的研究方向.对于无界区域上的线性薛定谔方程,Han和Sun[60,123,124]等人提出并分析了一维线性问题的有限差分方法.由拉普拉斯方法得到了有限计算区域的人工边界条件,其中Sun[123,124]等证明了所提格式是无条件稳定的,并且分析了无界区域一维线性薛定谔方程差分格式的误差估计.对于无界区域上的非线性薛定谔方程,Antoine和Zheng[7,153,156]等提出了相应的人工边界条件,然而文献[7,9,21,34,39,141,151-153,156]并没有给出无界域上非线性薛定谔方程数值方法的收敛性分析.在本章中,我们构造了无界域上的非线性薛定谔方程有限差分方法的人工边界条件,并对所提耦合有限差分格式进行了理论性分析.首先我们将无穷区域问题分为三个子空间问题,即区间x∈（xL,xR）上的内部问题和左右外部问题.然后通过拉普拉斯变换,分析两个外部问题得到两个解析人工边界条件.因此,通过引入这两个人工边界,将原始的无界区域的非线性薛定谔方程截断为有界区域的初边值问题.接下来引入辅助变量,我们给出了具有人工边界条件的非线性薛定谔方程的耦合有限差分格式.我们引入一外推算子处理非线性项.我们严格证明了所提的具有离散人工边界条件求解非线性薛定谔方程的耦合有限差分格式是无条件稳定的,并且证明了格式的收敛性.数值算例表明在人工边界处没有数值反射.我们研究了不连续的势函数对波传播的影响.另外,我们在本章的最后模拟了孤子的碰撞,尽管强烈的非线性相互作用,所有的孤子都可以恢复它们的形状,然后以特定的速度移动.在第四章中,我们研究磁化等离子体中电磁波的传播.在存在外部磁场的情况下,等离子体表现出各向异性行为.当电磁波在磁化等离子中传播时,等离子体不仅衰减入射波的能量,而且也改变传播方向.因此,磁化等离子体有着广泛的应用,比如卫星通信,空间气象灾害,远感,地球物理和散射体的雷达散射界面控制[109,138,139].对于电磁波在等离子体中的传播模型,[69,85,88,116,139]中提出一些显式有限差分格式,然而它们是条件稳定的,因为时间步长受CFL条件限制.[31,136]提出一步蛙跳交替方向隐式FDTD方法,[65]提出一种具有局部无条件稳定性的三步一维FDTD方法.虽然这些方法得到了无条件稳定性,但是并不满足能量守恒定律.本章中,我们着重研究在各向异性等离子体中能量守恒的FDTD方法.由于电磁波和磁化等离子体的相互作用,以及等离子体频率和回旋频率是空间变化性,这使得构造各向异性的磁化等离子体中电磁波传播的能量守恒的数值格式是很困难的.我们提出了两种守恒有限差分方法,即FDTD-EC方法和FDTD-I方法.FDTD-I格式仅对常数的等离子体频率和回旋频率满足能量守恒定律.我们进一步提出改进FDTD-I格式以获得变化的等离子体频率和回旋频率的磁化等离子体中电磁波传播的能量守恒格式FDTD-EC.我们理论地证明了FDTD-EC格式满足变频率情况下的两种离散能量守恒关系,因此得到了无条件稳定性.同时我们也证明了这两个格式的数值解具有时间和空间二阶的收敛率.数值算例的结果和我们的理论分析一致.我们进一步利用所提格式模拟电磁波在磁化等离子体中的传播.我们的结果表明,磁化等离子体可以有效地吸收电磁波并改变传播方向.吸收和各向异性的特征主要取决于电磁波的频率,等离子体频率（由电子密度决定）和回旋频率（由外部磁场决定）等几个参数.这些发现可以帮助理解等离子体频率和回旋频率对等离子体中电磁波传播的影响,并为特定的应用设计最佳的等离子体材料.在第五章中,我们开发一种高效的数值方法模拟磁化等离子体中电磁波的传播.一般情况下,传统的FDTD方法受CFL条件的限制,是条件稳定的.对于经典的麦克斯韦方程组,为了克服CFL条件的限制,许多学者提出无条件稳定的分裂时域有限差分方法.但是对于磁化等离子体模型中耦合电流方程的麦克斯韦方程组,无条件稳定的算法还是很少.Wang[64,136]等提出了各向异性等离子体中的交替方向隐式（ADI）时域有限差分方法.Hosseini[65,66]等人提出了一种无条件稳定性的局部一维时域有限差分方法.虽然上述的分裂方法对于二维问题是无条件稳定的,但是打破了磁化等离子体中的能量守恒性质.本章中,我们提出耦合电流方程的麦克斯韦方程组的能量守恒分裂时域有限差分方法（EC-S-FDTD）.对于变化的等离子体频率和回旋频率,构造磁化等离子体的能量守恒格式是困难的.并且,分裂格步可能会进一步破坏守恒性质.在研究中,为了得到时间二阶收敛率,我们所提的格式每个时间层包含三步.第一步和第三步均包括五个方程,并且这五个方程可分别化为对称的三对角方程组,然后根据Thomas方法有效地求解.第二步包含四个方程.为了得到能量守恒性,我们将电流方程中的两个张量积项均放在第二步,电流密度Jx和Jy联合很容易求解.我们理论性地证明了所提EC-S-FDTD格式满足离散范数下的两种能量守恒关系,并且得出了无条件稳定性.利用能量的方法,我们证明了分裂格式的收敛性为时间二阶和空间二阶.数值算例验证了我们的理论分析.并且模拟了电磁波在磁化等离子体中的传播.最后,在第六章中,我们研究了非线性正则长波方程.正则长波方程中的非线性项,使得很难找到正则长波方程的解析解.因此,人们对具有初边值条件的正则长波方程的数值解进行了各种研究.Zheng[155]等人提出了一种使用Richardson外推法的有限差分方法.他们利用五点得到了四阶收敛性.Akbari[5]提出了一种求解广义长波方程的紧致有限差分方法.然而这些方法不符合能量守恒定律.本章中提出了两种守恒的四阶紧致有限差分方法来分析正则长波方程的数值解,它们分别是两层非线性隐的和三层线性隐的,前者的非线性格式使得计算相对耗时,后者的线性化格式使得计算节约时间.我们提出两个四阶紧致有限差分算子Lx和Mx,它们沿着x方向仅仅利用三个网格点得到了空间四阶的收敛率.非线性项的存在和紧算子的利用增加了证明守恒性和收敛性的难度.我们证明了所提格式的数值解满足质量守恒和能量守恒,并且解是存在唯一的.利用能量的方法,我们证明了在没有网格比限制的条件下格式是收敛的,无条件稳定的.‖ · ‖和‖· ‖L∞范数下的最优误差满足空间四阶和时间二阶的收敛率.数值算例和我们的理论分析结果一致.最后,我们模拟了两孤波和三孤波的碰撞和分离过程,另外还模拟了在Maxwellian初始条件下,对不同的方程参数,波的传播变化情况.
廖飞[7]（2018）在《高阶精度数值方法及其在复杂流动中的应用》文中指出在计算流体力学（Computational Fluid Dynamics/CFD）问题的研究和发展中,数值模拟的精度和计算效率越来越成为研究者们重点关注的内容,成为制约大规模复杂问题计算的瓶颈。现如今得到广泛应用的CFD方法大多只有二阶空间离散精度,且通常难以直接推广至三阶以上的精度。在湍流、计算气动声学等等多尺度、宽频谱问题的研究中,数值耗散和色散的大小需要得到严格的控制,这使得传统二阶精度的方法难以满足要求。本文立足于结构网格,对适用于复杂流动的实用型的高精度数值方法展开研究,在对高阶精度方法发展和应用中的问题展开一定研究的基础上,发展和提出了两类高效高精度空间离散方法,并对高效时间推进方法进行了研究,最后将本文发展的数值方法应用于实际较为复杂问题的研究。具体研究内容包括:（1）对多块结构网格上的高精度方法中的若干问题进行了研究和探讨,包括:由网格拐折或突变引起的几何间断的处理,基于MPI（Message Passing Interface）的并行计算方法,空间离散方法中的几何守恒率,湍流模型离散精度对计算结果的影响,三维问题中的特征投影方法等等。研究给出了问题的解决方案并通过算例评估了实现和改善效果。（2）研究和发展了结构网格上的基于高阶重构格式的近似高精度有限体积方法。这一方法对于复杂拓扑以及质量极差的网格具有良好的适用性,其实现难度小、计算效率高的优点使得方法得到了广泛的应用。数值测试验证了近似高精度方法具有明显优于低阶精度方法的计算效果。（3）本文的核心工作是:提出了基于格心格式的插值型高精度有限差分方法（Cell-Centered Finite Difference Method/CCFDM）,同时提出了基于格心格式的对称守恒型几何守恒率方法（Cell-Centered Symmetrical Conservative Metric Method/CCSCMM）,二者配合可以实现结构网格上流场变量和几何变量的高精度离散。更为细致的研究包括以下几个方面:a)首先,给出了CCFDM的流场变量的离散过程,并对CCFDM的若干优点和特性进行了讨论,包括:面心通量兼容通量差分分裂方法和矢量通量分裂方法;边界条件仅需在面心处耦合Riemann通量,无需对残值进行复杂的特征分裂;计算自由度不随网格剖分而增加;几何变量不会被迫随着流场变量进行“迎风”等等。b)其次,提出了CCSCMM方法的几何量离散形式,包含了面守恒率（SCL）和体守恒率（VCL）相关的坐标变换偏导数和雅可比的离散过程。CCSCMM是对Deng及Abe提出的SCMM在格心格式下的拓展,摒弃了先在格点直接进行坐标变换几何量计算再插值离散至半点的思路,而是将SCMM中出现的差分算子进行分类:由格点参数计算边参数的差分算子δ3,由边参数计算面参数的差分算子δ2,以及由面参数计算体参数的差分算子δ1。分别代表了几何信息由格点传至边再传至面再传至格心的过程。c)随后,本文对CCFDM和CCSCMM在二阶精度下的离散形式进行了细致的讨论,证明了二阶精度CCFDM和二阶精度CCSCMM相结合完全等价于格心有限体积方法的结论,并采用相应的数值算例予以验证。这一点使得本文发展的格心有限差分方法能够无缝兼容基于高阶重构格式的近似高精度格心有限体积方法。d)最后,对有限体积方法中用于计算格心梯度的格林高斯公式进行了高精度推广。在几何守恒率满足的前提下（CCSCMM）,为结构网格提供了除复合函数链式法则以外的积分型高精度求导方法,这一方法在本文中被称为广义格林高斯公式。（4）对高效时间推进和加速收敛方法进行了研究,其中的两类核心问题分别为隐式时间推进Jacobian矩阵的构造以及大型稀疏矩阵方程组的求解。本文研究的Jacobian矩阵构造方法包括:Roe格式对应的Jacobian矩阵、特征值分裂对应的Jacobian矩阵。本文研究和发展的大型稀疏矩阵方程组的求解方法包括:LU-SGS、DADI、DDADI、D3ADI,以及基于PETSc工具箱的GMRES方法。对隐式时间推进方法的隐式内边界方法进行了研究。本文将DDADI/D3ADI方法的子迭代过程和隐式内边界处理方法的子迭代过程进行了结合,在简单算例中实现了近似牛顿迭代的计算效果,在二维和三维全湍流附着流动的模拟中仍具有明显优于传统时间推进方法收敛速度。（5）对本文发展的高精度有限差分方法在复杂流动中的应用进行了初步研究,具体包括:Hi Lift-PW1复杂构型的气动力计算、初级湍流问题Taylor-Green的计算、初级计算气动声学标准算例的计算以及雷诺数为3900的三维圆柱绕流的DDES模拟。通过本文的理论证明分析和数值验证,可以看出本文提出并发展的高精度方法具有良好的数值特性和应用前景。
傅浩[8]（2018）在《共形Hamilton系统的若干保结构算法研究》文中进行了进一步梳理保结构算法是微分方程数值算法的重要研究方向之一,其目的是构造数值积分保持连续系统的相应特征。一切真实的、耗散可忽略不计的物理过程都可以表示成Hamilton系统,它在自然界中有着非常广泛的应用。然而经典力学中研究的大部分系统都不是保守系统,所以很难将这类系统表示为经典的Hamilton力学形式以及最小作用量变分原理形式或者与此等效的Lagrange力学形式,极大地限制了保结构算法在耗散系统中的应用。本文对带线性耗散的Hamilton系统进行数值研究,构造了一系列共形保结构算法,并给出了这些算法的离散守恒性质。主要工作包括:1.对一般带线性耗散项的多辛Hamilton系统,在Lie分裂的基础上,时间方向上采用平均向量场方法,空间方向采用隐式中点方法,得到保局部共形能量方法;时间方向上采用隐式中点方法,空间方向上采用平均向量场方法,得到保局部共形动量方法。证明了两种方法分别保持离散的局部共形能量守恒律和局部共形动量守恒律。在适当的边界条件下,保局部共形动量方法还满足相应的全局共形动量守恒律,也就是保持全局动量的衰减速度。通过对带线性耗散的Schr?dinger方程的数值试验,表明了所提的保局部动量方法能够清晰的模拟孤立波的传播与碰撞,具有长时间的数值模拟能力,相较于一般传统的保结构算法,在保持全局动量的衰减速度上具有更大的优势。2.针对带线性耗散的耦合Schr?dinger方程,在共形多辛Hamilton系统框架下,利用Lie分裂技巧和隐式中点方法,构造出了共形多辛Preissman格式和保局部共形动量格式。证明了这两种格式分别保持离散共形多辛守恒律和局部共形动量守恒律的同时,还保持局部共形电荷守恒律。在适当的边界条件下,它们还保持全局电荷的衰减速度。数值试验结果表明,所提算法长时间模拟的有效性和共形守恒性。3.对耗散的Klein–Gordon方程,利用Strang分裂方法。在无穷维共形Hamilton系统框架下,时间上采用隐式中点格式,空间采用小波配点法,构造了共形辛小波配点格式,并证明该格式满足离散全局共形辛守恒律。在共形多辛Hamilton系统框架下,时空方向均采用隐式中点格式,构造了新的共形Preissman格式,并证明了该格式不仅满足离散的共形多辛守恒律和局部共形动量守恒律,还满足由线性对称性导出的共形守恒律。数值试验结果表明,所提算法的长时间模拟性和共形守恒性。4.基于耗散的Schr?dinger方程的一些共形守恒律,利用Strang分裂方法,构造了一种高阶紧致共形多辛方法、一种保局部共形动量方法和一种分裂共形多辛Fourier拟谱方法。证明了这三种方法分别保持相应的局部共形守恒律,而且在适当的边界条件下,还满足全局共形守恒律。通过明/暗孤立子的数值试验,表明了所提方法能够清晰的模拟明/暗孤立子的碰撞,验证了共形守恒性。
尹秀玲,张静静,刘艳芹,郑晓彤[9]（2017）在《Klein-Gordon方程的紧致辛中点格式》文中研究说明本文利用紧致算子和修正的辛中点格式构造了Klein-Gordon方程初值问题的保结构算法.该紧致辛中点格式在时间方向具有二阶精度,在空间方向具有六阶精度,保持离散的辛结构,是线性稳定的算法.另外,该算法保持线性系统的离散能量,而对非线性系统,该算法满足一个离散能量的转移公式.数值算例验证了理论分析.
李益群[10]（2017）在《谱变分积分子与刚体几何控制》文中认为本文旨在构造几类高精度计算几何力学方法并将其用于实际动力学和控制系统的仿真中。谱方法由于其几何收敛性和相对较小的内存需求,而被广泛地应用于光滑问题的数值逼近。本文主要介绍了将谱方法转换为哈密尔顿系统保结构数值算法的一般性框架。这些保结构算法包括:伽辽金谱变分积分子,谱配点变分积分子和李群谱方法。本文中计算几何力学算法的构造主要是基于离散几何力学理论,将变分积分子与谱方法通过不同的方式（伽辽金方法和打靶法）有效地结合。不同于力学系统经典数值模拟方法大都建立在对欧拉–拉格朗日方程和哈密尔顿方程离散的基础上,本文是通过高精度离散拉格朗日和哈密尔顿力学系统的原始变分原理得到高精度的变分积分子。李群谱方法是将李群上的微分方程转换成其相应李代数上方程,由于李代数是线性空间,可以通过谱配点法求解李代数方程后,再将所得的数值解通过正则坐标映射重新拉回到李群上。对于所构造的算法,文中给出了其相互之间及其与一些传统保结构或高精度算法在求解经典哈密尔顿系统时的数值比较,其中包括它们在构形空间和相空间中解轨道的精度、算法保持系统动量和能量的能力以及算法的相对运算效率等。通过数值实验发现,文中所构造的数值算法在真实地保持了系统几何结构（辛结构、李群结构等）和物理特性（动量、能量等）的同时都还很好地继承了谱方法原有的收敛速度和计算效率。将本文所构造的数值算法运用于实际动力学和控制系统的仿真中将得到更加真实、可信且长时间有效的数值仿真结果。此外,本文中所给出的数值逼近方法可以很自然地推广应用于耗散系统的数值仿真和最优控制问题中。
二、非线性波方程的多辛五点格式（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、非线性波方程的多辛五点格式（论文提纲范文）
（1）几类非线性偏微分方程的高精度有限差分格式研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 研究背景 |
| 1.2 本文的主要工作 |
| 1.3 相关记号和引理 |
| 第2章 广义Rosenau-Kd V方程的高精度守恒差分格式 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 差分格式的构造 |
| 2.3 差分格式的守恒性和解的有界性 |
| 2.4 差分格式的可解性 |
| 2.5 差分格式的收敛性和稳定性 |
| 2.6 数值实验 |
| 2.7 本章小结 |
| 第3章 耗散广义对称正则长波方程的高精度耗散差分格式 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 解的性质 |
| 3.3 两层非线性耦合高精度耗散差分格式 |
| 3.3.1 差分格式的构造 |
| 3.3.2 差分格式的能量耗散性和解有界性 |
| 3.3.3 差分格式的解的存在性 |
| 3.3.4 差分格式的收敛性、稳定性和解的唯一性 |
| 3.3.5 迭代算法 |
| 3.4 三层线性解耦高精度耗散差分格式 |
| 3.4.1 差分格式的构造 |
| 3.4.2 差分格式的能量耗散性和解有界性 |
| 3.4.3 差分格式的可解性 |
| 3.4.4 差分格式的收敛性和稳定性 |
| 3.5 数值实验 |
| 3.6 本章小结 |
| 第4章 对称正则长波方程的高精度紧致守恒差分格式 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 差分格式的构造与守恒性 |
| 4.3 差分格式的先验估计和可解性 |
| 4.4 差分格式的收敛性和稳定性 |
| 4.5 数值实验 |
| 4.6 本章小结 |
| 第5章 非线性耦合Schr?dinger方程的高精度守恒差分格式 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 差分格式的构造 |
| 5.3 差分格式的守恒性和解的有界性 |
| 5.4 差分格式解的存在性 |
| 5.5 差分格式的收敛性、稳定性和解的唯一性 |
| 5.6 迭代算法 |
| 5.7 数值实验 |
| 5.8 本章小结 |
| 第6章 前景与展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 攻读学位期间承担的科研任务和主要成果 |
（2）几类分数阶偏微分方程的守恒数值方法（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 研究背景和意义 |
| 1.2 研究现状 |
| 1.2.1 Klein-Gordon-Schr(?)dinger方程 |
| 1.2.2 Zakharov方程 |
| 1.2.3 Schr(?)dinger-Boussinesq方程 |
| 1.2.4 阻尼非线性Schr(?)dinger方程 |
| 1.3 基本引理 |
| 1.4 本文的主要工作 |
| 第2章 分数阶Klein-Gordon-Schr(?)dinger方程的守恒差分格式 |
| 2.1 前言 |
| 2.2 格式的构造 |
| 2.3 理论分析 |
| 2.3.1 离散守恒律 |
| 2.3.2 数值解的先验估计 |
| 2.3.3 差分格式的收敛性 |
| 2.4 数值结果 |
| 2.4.1 精度测试 |
| 2.4.2 守恒律测试和单个孤立波仿真 |
| 2.4.3 孤立波的碰撞 |
| 2.5 本章小结 |
| 第3章 双分数阶Zakharov方程的线性化守恒差分格式 |
| 3.1 前言 |
| 3.2 两个守恒量 |
| 3.3 守恒型差分格式的构造 |
| 3.4 理论分析 |
| 3.4.1 质量和能量守恒律 |
| 3.4.2 先验估计 |
| 3.4.3 收敛性分析 |
| 3.5 数值实验 |
| 3.6 本章小结 |
| 第4章 分数阶Schr(?)dinger-Boussinesq方程的守恒紧差分格式 |
| 4.1 前言 |
| 4.2 格式构造及其离散守恒律 |
| 4.2.1 空间离散 |
| 4.2.2 差分格式的构造 |
| 4.2.3 离散守恒律 |
| 4.3 差分格式的先验估计和收敛性分析 |
| 4.3.1 先验估计 |
| 4.3.2 存在性 |
| 4.3.3 收敛性分析 |
| 4.4 迭代算法和数值实验 |
| 4.4.1 迭代算法 |
| 4.4.2 数值实验 |
| 4.5 本章小结 |
| 第5章 带阻尼项的分数阶非线性Schr(?)dinger方程的Fourier谱方法 |
| 5.1 前言 |
| 5.2 半离散Fourier谱格式的构建及守恒性分析 |
| 5.2.1 半离散Fourier谱格式的守恒性分析 |
| 5.2.2 半离散Fourier谱格式的收敛性分析 |
| 5.3 全离散Fourier谱格式的构建及守恒性分析 |
| 5.3.1 全离散Fourier谱格式的守恒性分析 |
| 5.3.2 全离散Fourier谱格式的收敛性分析 |
| 5.4 数值实验 |
| 5.5 本章小结 |
| 结论 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间发表的论文及其它成果 |
| 致谢 |
| 个人简历 |
（3）基于符号计算的非线性发展方程多种精确解及可积性研究（论文提纲范文）
| 致谢 |
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 孤子理论简介 |
| 1.1.1 孤子的起源与发展 |
| 1.1.2 孤子理论的推广 |
| 1.1.3 孤子理论发展现状 |
| 1.2 数学机械化与符号计算 |
| 1.2.1 数学机械化的近代成果 |
| 1.2.2 符号计算与计算机软件 |
| 第2章 Hirota双线性方法与(2+1)-维广义非线性发展方程的构造 |
| 2.1 Hirota双线性方法 |
| 2.1.1 双线性算子的概念与性质 |
| 2.1.2 三种常用变量代换下的双线性过程 |
| 2.2 (2+1)-维广义非线性发展方程的构造 |
| 第3章 非线性方程(2-22)的孤子解研究与共振解存在性探究 |
| 3.1 Hirota双线性方法求方程(2-22)孤子解的研究 |
| 3.1.1 单孤子解的研究 |
| 3.1.2 双孤子解的研究 |
| 3.1.3 三孤子解的研究 |
| 3.2 方程(2-22)共振解存在性的探究 |
| 3.2.1 指数行波解的线性叠加原理 |
| 3.2.2 共振解存在性探究 |
| 第4章 非线性方程(2-22)的两种相互作用解研究 |
| 4.1 方程(2-22)的lump-kink型相互作用解的研究 |
| 4.1.1 符号计算方法求lump-kink型相互作用解 |
| 4.1.2 lump-kink型相互作用解的渐近性质及动力学分析 |
| 4.2 方程(2-22)的lump-soliton型相互作用解的研究 |
| 4.2.1 符号计算方法求lump-soliton型相互作用解 |
| 4.2.2 lump-soliton型相互作用解的渐近性质及动力学分析 |
| 第5章 非线性方程(2-22)的可积性质及无穷守恒律研究 |
| 5.1 Bell多项式在非线性方程中的应用 |
| 5.2 方程(2-22)的双线性B?cklund变换和Lax对 |
| 5.2.1 贝尔多项式型B?cklund变换 |
| 5.2.2 Lax对与Lax可积 |
| 5.3 方程(2-22)的无穷守恒律 |
| 第6章 总结与展望 |
| 6.1 工作总结 |
| 6.2 未来工作展望 |
| 参考文献 |
| 作者简历 |
| 学位论文数据集 |
（4）基于特征线差分法的水下爆炸近场非等熵流研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| abstract |
| 主要符号表 |
| 1 绪论 |
| 1.1 研究背景与意义 |
| 1.2 水下爆炸的研究现状 |
| 1.2.1 水下爆炸的基本过程与主要现象 |
| 1.2.2 水下爆炸的数值计算研究综述 |
| 1.3 可压缩流特征线法的研究与发展 |
| 1.3.1 可压缩流特征线法的发展历史 |
| 1.3.2 特征线差分法应用于水下爆炸流场的优势与局限性 |
| 1.4 水下爆炸试验标定爆轰产物状态方程的研究与发展 |
| 1.4.1 爆轰产物的状态方程概述 |
| 1.4.2 爆轰产物状态方程的实验标定方法简介 |
| 1.4.3 水下爆炸试验标定法的原理与优缺点 |
| 1.5 本文主要研究思路 |
| 2 轴对称非等熵定常可压缩流的特征线差分法 |
| 2.1 二维定常超声速非等熵流的特征线理论 |
| 2.1.1 柱形炸药水下爆炸近场流动模型 |
| 2.1.2 二维定常超声速等熵流的特征线方程的回顾 |
| 2.1.3 非等熵流场中的真声速与拟声速 |
| 2.1.4 基于真声速的二维定常超声速非等熵流的特征线方程推导 |
| 2.1.5 对应不同声速分解方式的拟特征线方程 |
| 2.1.6 真声速CFL条件与拟特征线法的收敛性 |
| 2.1.7 爆轰产物轴线、水中冲击波和水气边界的处理 |
| 2.2 特征线差分法的计算格式与网格 |
| 2.2.1 节点计算单元与计算格式 |
| 2.2.2 改进的推进求解策略 |
| 2.2.3 自适应的特征线网格 |
| 2.3 高压状态方程与等熵方程的显式表达 |
| 2.3.1 适用于凝聚态物质的Mie-Gruneisen状态方程 |
| 2.3.2 爆轰产物与水的绝热卸载过程 |
| 2.3.3 Mie-Gruneisen状态方程下的等熵线和声速显式解 |
| 2.4 柱形炸药水下爆炸过程 |
| 2.4.1 水下冲击波与人工粘性的关系 |
| 2.4.2 水下冲击波和水气界面的传播轨迹 |
| 2.4.3 基于特征网的水下爆炸流场分析 |
| 2.5 球形炸药水下爆炸特征线法补充介绍 |
| 2.5.1 球形炸药水下爆炸近场流动模型 |
| 2.5.2 一维非定常非等熵流的特征线方程推导 |
| 2.5.3 球形炸药水下爆炸的特征线差分法与算例验证 |
| 2.6 本章小结 |
| 3 非等熵流特征线法在含铝炸药水下爆炸问题中的应用 |
| 3.1 含铝炸药水下爆炸的非等熵流 |
| 3.1.1 含铝炸药水下爆炸的特点与研究概述 |
| 3.1.2 球形以及柱形含铝炸药的近场流动模型 |
| 3.1.3 球对称与轴对称模型的特征线方程及相容关系 |
| 3.2 含铝炸药爆轰产物状态方程的改进方案 |
| 3.2.1 含铝炸药爆轰产物的常用状态方程及其特点 |
| 3.2.2 非等熵膨胀的改进型状态方程及其算法 |
| 3.2.3 基于化学反应的铝粉放热量估算 |
| 3.3 球形含铝炸药水下爆炸算例 |
| 3.3.1 一维水下冲击波的峰值压力验证 |
| 3.3.2 铝粉后燃效应对爆轰产物以及水中流场的影响 |
| 3.4 柱形含铝炸药水下爆炸算例 |
| 3.4.1 二维水下冲击波以及水气界面的轨迹验证 |
| 3.4.2 含铝炸药爆轰产物膨胀的尺度效应 |
| 3.4.3 含铝炸药水下爆炸流场的压力分布规律 |
| 3.5 本章小结 |
| 4 爆轰产物状态方程的特征线法反演理论研究 |
| 4.1 水下爆炸试验标定状态方程的特征线反演算法 |
| 4.1.1 特征线反演算法的基本原理 |
| 4.1.2 基于水下爆炸试验的状态方程反演标定方案 |
| 4.1.3 水中流场反演所需的初始数据预处理 |
| 4.1.4 水中流场反演的节点单元及其特征线网格 |
| 4.2 爆轰产物状态方程参数标定中的优化问题 |
| 4.2.1 爆轰产物的JWL状态方程简介 |
| 4.2.2 JWL状态方程参数的优化问题 |
| 4.3 JWL状态方程参数优化问题的遗传算法 |
| 4.3.1 遗传算法简介 |
| 4.3.2 JWL状态方程参数优化的遗传算法 |
| 4.3.3 基于遗传算法的优化流程及其算法实现 |
| 4.4 爆轰产物JWL状态方程的反演标定算例 |
| 4.4.1 水中流场的反演结果与区域划分 |
| 4.4.2 水气界面的反演结果与特点 |
| 4.4.3 JWL状态方程参数的反演优化结果 |
| 4.5 本章小结 |
| 5 结论与展望 |
| 5.1 结论 |
| 5.2 创新点 |
| 5.3 展望 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间科研项目及科研成果 |
| 致谢 |
| 作者简介 |
（5）基于时（-空联合）辛结构理论的若干动力学问题研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 绪论 |
| §1.1 选题背景 |
| §1.2 Hamilton系统保结构算法的研究概况 |
| §1.3 两类前沿动力学问题研究概述 |
| §1.3.1 空间太阳能电站设计与发展概况 |
| §1.3.2 非线性波动问题研究概况 |
| §1.4 本文的主要工作、结构安排及创新点 |
| §1.4.1 本文的主要工作 |
| §1.4.2 本文的结构安排 |
| §1.4.3 本文主要的创新点 |
| 第二章 Hamilton系统相关基础知识及理论 |
| §2.1 引言 |
| §2.2 Newton、Lagrange和Hamilton系统的力学表述 |
| §2.2.1 Newton力学的基本表述 |
| §2.2.2 Lagrange力学的基本表述 |
| §2.2.3 Hamilton系统的力学表述 |
| §2.3 辛几何及Hamilton系统相关的基础理论 |
| §2.3.1 辛内积及其相关性质 |
| §2.3.2 辛变换及其相关性质 |
| §2.3.3 Hamilton方程 |
| §2.3.4 辛Runge-Kutta算法及其相关性质 |
| §2.4 无限维Hamilton方程与多辛几何 |
| §2.4.1 无限维Hamilton方程 |
| §2.4.2 多辛几何结构 |
| §2.5 多辛方程组及其守恒律 |
| §2.5.1 无限维保守动力学系统的多辛形式 |
| §2.5.2 无限维保守动力学系统的局部守恒律 |
| §2.6 广义多辛方法的相关概念 |
| §2.6.1 广义多辛的相关概念 |
| §2.6.2 广义多辛的离散方法 |
| §2.7 本章小结 |
| 第三章 空间刚性梁轨道与姿态耦合动力学问题的辛分析 |
| §3.1 引言 |
| §3.2 空间刚性梁轨道、姿态耦合动力学模型 |
| §3.3 轨道半径、真近点角及姿态角的影响 |
| §3.4 空间刚性梁简化模型的能量分析与验证 |
| §3.5 本章小结 |
| 第四章 空间刚性杆-弹簧组合结构轨道、姿态耦合动力学分析 |
| §4.1 引言 |
| §4.2 组合结构动力学模型的建立 |
| §4.3 组合结构简化模型动力学分析方法 |
| §4.4 组合结构动力学分析及结果讨论 |
| §4.5 本章小结 |
| 第五章 SPS-ALPHA接收器自旋展开过程中保结构特性研究 |
| §5.1 引言 |
| §5.2 SPS-ALPHA太阳能接收器的简化结构 |
| §5.3 简化结构展开时的动力学方程 |
| §5.4 构造改进的Hamilton系统模型 |
| §5.5 含约束的辛Runge-Kutta格式 |
| §5.6 简化结构数值分析及结果讨论 |
| §5.6.1 阻尼系数? 的影响 |
| §5.6.2 位移约束违约分析 |
| §5.7 本章小结 |
| 第六章 含弱线性阻尼非线性Schr?dinger方程保结构分析 |
| §6.1 引言 |
| §6.2 系统广义多辛格式的构造 |
| §6.3 非线性Schr?dinger方程六点格式的构造 |
| §6.4 系统动力学数值模拟及结果分析 |
| §6.4.1 能量耗散和动量耗散情况分析 |
| §6.4.2 多孤立子波分裂情况分析 |
| §6.5 本章小结 |
| 第七章 结论与展望 |
| §7.1 主要结论 |
| §7.2 研究展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 博士期间发表的论文及参加科研情况 |
（6）几类波传播偏微分方程有效数值方法研究（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| 英文摘要 |
| 第一章 二维薛定谔方程的守恒分裂高阶紧致有限差分方法 |
| §1.1 引言 |
| §1.2 守恒分裂四阶紧致差分格式 |
| §1.3 离散格式的守恒性,稳定性和收敛性 |
| §1.4 数值模拟 |
| §1.5 本章小结 |
| 第二章 二维非线性薛定谔方程的守恒分裂步紧致有限差分格式 |
| §2.1 引言 |
| §2.2 守恒紧致分裂步差分格式 |
| §2.3 守恒性,稳定性和收敛性 |
| §2.4 数值算例 |
| §2.5 本章小结 |
| 第三章 具有人工边界条件的非线性薛定谔方程无界区域问题的有限差分方法 |
| §3.1 引言 |
| §3.2 具有人工边界条件的非线性薛定谔方程 |
| §3.3 具有人工边界条件的非线性薛定谔方程的有限差分方法 |
| §3.4 稳定性 |
| §3.5 收敛性 |
| §3.6 数值实验 |
| §3.7 本章小结 |
| 第四章 各向异性磁化等离子中电磁波传播的能量守恒FDTD方法 |
| §4.1 引言 |
| §4.2 磁化等离子中的数学模型 |
| §4.3 能量守恒的FDTD格式 |
| §4.4 FDTD-EC格式的能量守恒性 |
| §4.5 收敛性分析 |
| §4.6 数值模拟 |
| §4.7 本章小结 |
| 第五章 磁化等离子体中电磁波传播的能量守恒分裂时域有限差分方法 |
| §5.1 引言 |
| §5.2 能量守恒分裂时域有限差分方法 |
| §5.3 离散的能量守恒性 |
| §5.4 收敛性分析 |
| §5.5 数值模拟 |
| §5.6 本章小结 |
| 第六章 正则长波方程的守恒四阶紧致有限差分方法 |
| §6.1 引言 |
| §6.2 非线性守恒紧致有限差分格式 |
| §6.2.1 两层的线性守恒紧致有限差分格式 |
| §6.2.2 一些引理 |
| §6.2.3 离散的守恒定律 |
| §6.2.4 先验估计 |
| §6.2.5 解的存在唯一性 |
| §6.2.6 非线性守恒紧致有限差分格式的收敛性 |
| §6.3 线性守恒紧致有限差分格式 |
| §6.3.1 线性守恒紧致有限差分格式的守恒性 |
| §6.3.2 线性守恒紧致有限差分格式的解的存在唯一性 |
| §6.3.3 收敛性和稳定性 |
| §6.4 数值实验 |
| §6.5 本章小结 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 攻读博士学位期间完成论文情况 |
| 作者简介 |
| 附件 |
（7）高阶精度数值方法及其在复杂流动中的应用（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 1 绪论 |
| 1.1 计算流体力学概述 |
| 1.2 高精度方法的研究概述 |
| 1.2.1 有限差分方法(Finite Difference Method/FDM) |
| 1.2.2 有限体积方法(Finite Volume Method/FVM) |
| 1.2.3 有限元方法(Finite Element Method/FEM) |
| 1.3 结构网格高精度方法的研究概况 |
| 1.4 加权紧致非线性差分(Weighted Compact Nonlinear Scheme/WCNS)的研究进展 |
| 1.5 高效时间推进方法概述 |
| 1.6 本文的主要研究内容和章节安排 |
| 2 结构网格高阶精度数值方法中的若干问题研究 |
| 2.1 几何、网格和坐标变换 |
| 2.2 控制方程 |
| 2.3 精度、分辨率、色散和耗散 |
| 2.4 迎风格式和中心格式 |
| 2.5 线性格式和非线性格式 |
| 2.6 重构格式、插值格式和求导格式 |
| 2.6.1 重构格式 |
| 2.6.2 插值格式 |
| 2.6.3 求导格式 |
| 2.7 流场间断和几何间断 |
| 2.8 特征投影与特征变量 |
| 2.9 几何守恒律 |
| 2.9.1 面守恒率(SCL) |
| 2.9.2 体守恒率(VCL) |
| 2.9.2.1 Abe型 VCL偏导数 |
| 2.9.2.2 Liao型 VCL偏导数 |
| 2.9.2.3 VCL偏导数对比:Abe vs.Liao |
| 2.10 湍流和湍流模型 |
| 2.10.1 Spalart-Allmaras模型 |
| 2.10.2 关于湍流模型的离散精度的讨论 |
| 2.11 并行计算方法 |
| 2.11.1 OpenMP并行 |
| 2.11.2 MPI并行 |
| 2.11.3 并行计算中的负载均衡技术 |
| 2.11.4 MPI并行测试算例 |
| 2.12 考核算例介绍 |
| 2.12.1 一维Shu-Osher问题 |
| 2.12.2 一维SOD激波管问题 |
| 2.12.3 二维欧拉方程精确解问题 |
| 2.12.4 二维无粘圆柱绕流 |
| 2.12.5 二维无粘前台阶绕流 |
| 2.12.6 二维无粘双马赫反射 |
| 2.12.7 二维湍流RAE2822 翼型绕流 |
| 2.12.8 二维无粘等熵涡 |
| 2.12.9 三维湍流M6 机翼绕流 |
| 2.13 小结 |
| 3 基于有限体积法的高精度数值方法 |
| 3.1 积分型控制方程及空间离散的目标 |
| 3.2 物理域和计算域中的平均量 |
| 3.3 守恒变量和格均值 |
| 3.4 二阶精度有限体积方法简述 |
| 3.4.1 直接待定系数重构 |
| 3.4.2 直接距离加权重构 |
| 3.4.3 基于梯度的格林高斯重构 |
| 3.4.4 基于梯度的最小二乘重构 |
| 3.4.5 基于标量耗散或矩阵耗散的Jameson中心格式 |
| 3.5 基于高阶重构格式的近似高精度方法 |
| 3.5.1 本文实现的重构格式 |
| 3.5.1.1 零阶重构格式 |
| 3.5.1.2 NND重构格式 |
| 3.5.1.3 MUSCL重构格式 |
| 3.5.1.4 OMUSCL重构格式 |
| 3.5.1.5 WENO重构格式 |
| 3.5.1.6 MDCD重构格式 |
| 3.5.1.7 WGVC-WENO重构格式 |
| 3.5.1.8 OMP重构格式 |
| 3.5.2 关于近似高精度方法的简单讨论 |
| 3.5.3 算例验证 |
| 3.5.3.1 卡门涡街 |
| 3.5.3.2 一维SOD激波管问题 |
| 3.5.3.3 Shu-Osher问题 |
| 3.5.3.4 前台阶绕流 |
| 3.5.3.4 双马赫反射 |
| 3.5.3.5 结构网格混合非结构网格局部高精度 |
| 3.6 小结 |
| 4 基于有限差分法的高精度数值方法 |
| 4.1 经典有限差分方法 |
| 4.2 重构型非线性格点有限差分方法 |
| 4.3 插值型非线性格点有限差分方法 |
| 4.3.1 基于矢量通量分裂的插值型非线性有限差分方法 |
| 4.3.2 基于通量差分分裂的插值型非线性有限差分方法 |
| 4.4 插值型非线性格心有限差分方法(CCFDM) |
| 4.4.1 加权紧致非线性(WCNS)插值 |
| 4.4.2 线性耗散紧致(DCS)插值 |
| 4.4.3 线性中心插值 |
| 4.4.4 非线性WCNS插值混合线性DCS插值 |
| 4.5 对称守恒型几何守恒率方法(SCMM) |
| 4.6 格心对称守恒型几何守恒率方法(CCSCMM) |
| 4.6.1 面守恒率(SCL)的格心离散形式 |
| 4.6.2 体守恒率(VCL)的格心离散形式 |
| 4.7 高精度几何量离散格式 |
| 4.7.1 F2C型求导格式2~10阶 |
| 4.7.2 FC2C型求导格式2~10阶 |
| 4.7.3 线性中心插值格式2~10阶 |
| 4.8 关于CCFDM和CCSCMM的一些讨论 |
| 4.8.1 关于二阶精度CCFDM和二阶精度格心有限体积法等价性的讨论 |
| 4.8.2 关于CCFDM的守恒性的讨论 |
| 4.8.3 关于旋转奇性轴的离散形式的讨论 |
| 4.8.4 关于多块网格块边界几何一致性的讨论 |
| 4.9 高阶精度广义格林高斯公式 |
| 4.10 算例验证 |
| 4.10.1 面守恒率验证 |
| 4.10.2 体守恒率验证 |
| 4.10.3 Shu-Osher问题 |
| 4.10.4 SOD激波管问题 |
| 4.10.5 无粘圆柱阻力预测问题 |
| 4.10.6 二维前台阶绕流问题 |
| 4.10.7 二维双马赫反射问题 |
| 4.10.8 二维Rayleigh-Taylor不稳定问题 |
| 4.10.9 二维30P30N三段翼绕流 |
| 4.10.10 三维M6 机翼 |
| 4.11 小结 |
| 5 高效时间推进方法和加速收敛技术 |
| 5.1 隐式时间推进方法的一般过程 |
| 5.2 隐式时间推进Jacobian矩阵的解析近似 |
| 5.2.1 无粘矩阵近似 |
| 5.2.1.1 Roe分裂的无粘矩阵近似 |
| 5.2.1.2 特征值分裂的无粘矩阵近似 |
| 5.2.2 粘性矩阵近似 |
| 5.3 大型稀疏矩阵方程组的求解 |
| 5.3.1 LU-SGS方法 |
| 5.3.2 Diagonal ADI(DADI)方法 |
| 5.3.3 Diagonally Dominant ADI(DDADI)方法 |
| 5.3.4 Diagonally Dominant ADI(DDADI)结合Huang的子迭代方法 |
| 5.3.5 Diagonalized DDADI(D3ADI)方法 |
| 5.3.6 Diagonalized DDADI(D3ADI)结合Huang的子迭代方法 |
| 5.3.7 基于PETSc的 GMRES方法 |
| 5.4 隐式时间推进方法中的隐式边界处理方法 |
| 5.5 关于隐式时间推进方法的讨论 |
| 5.6 加速收敛技术 |
| 5.6.1 当地时间步长 |
| 5.6.2 几何多重网格 |
| 5.7 数值算例 |
| 5.7.1 NACA0012 |
| 5.7.2 RAE2822 |
| 5.7.3 ONERA-M6 |
| 5.8 小结 |
| 6 高阶精度方法在复杂流动中的应用 |
| 6.1 F4翼身组合体 |
| 6.2 HiLift PW-1(1st High Lift Prediction Workshop) |
| 6.3 湍流模拟之Taylor-Green涡问题 |
| 6.3.1 无粘状态 |
| 6.3.2 粘性状态Re=100,400,1600 |
| 6.4 计算气动声学中的基本波传播问题 |
| 6.4.1 双圆柱散射 |
| 6.4.2 三圆柱散射 |
| 6.5 三维圆柱绕流ReD=3900的DDES模拟 |
| 6.6 小结 |
| 7 总结与展望 |
| 7.1 本文完成的工作总结 |
| 7.2 论文创新点 |
| 7.3 后续研究展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 攻读博士学位期间发表的学术论文、参加科研和获奖情况 |
（8）共形Hamilton系统的若干保结构算法研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 保结构算法的研究现状 |
| 1.1.1 保守系统的辛和多辛算法 |
| 1.1.2 Birkhoff系统的保辛算法 |
| 1.1.3 共形系统的共形保结构算法 |
| 1.1.4 随机Hamilton系统的随机保结构算法 |
| 1.2 本文的主要工作 |
| 第二章 基本概念与预备知识 |
| 2.1 保守系统的辛和多辛算法介绍 |
| 2.1.1 Hamilton系统与辛几何算法 |
| 2.1.2 Bridges意义下的多辛结构和多辛算法 |
| 2.2 共形辛与共形多辛算法 |
| 2.2.1 一些算子的定义和性质 |
| 2.2.2 共形Hamilton系统与共形辛算法 |
| 2.2.3 共形多辛PDEs和局部共形守恒律 |
| 2.2.4 共形Preissman格式 |
| 2.3 平均向量场方法 |
| 2.4 小波配点方法 |
| 2.4.1 Daubechies小波的自相关函数 |
| 2.4.2 小波离散矩阵 |
| 第三章 几类耗散类方程的一阶共形保结构算法 |
| 3.1 共形多辛PDEs的几种共形保结构算法 |
| 3.2 带线性耗散项的Schr?dinger方程的一阶保局部共形动量算法 |
| 3.2.1 DNLSE的共形多辛形式和共形守恒律 |
| 3.2.2 DNLSE的局部共形保动量算法 |
| 3.2.3 数值算例 |
| 3.3 带线性耗散项的耦合Schr?dinger方程的两种共形保结构算法 |
| 3.3.1 CDNLS方程的耗散多辛形式和共形守恒律 |
| 3.3.2 CDNLS方程的共形保结构算法 |
| 3.3.3 数值算例 |
| 3.4 本章小节 |
| 第四章 几类耗散类方程的二阶共形保结构算法 |
| 4.1 一些差分算子的定义及性质 |
| 4.2 带线性耗散项的Klein–Gordon方程的二阶共形保结构算法 |
| 4.2.1 DKG方程的共形Hamilton形式和共形多辛形式 |
| 4.2.2 DKG方程的共形保结构算法 |
| 4.2.3 数值算例 |
| 4.3 带耗散项的非线性薛定谔方程的几种共形保结构算法 |
| 4.3.1 DNLSE的共形不变量 |
| 4.3.2 DNLS方程的几种共形保结构算法 |
| 4.3.3 数值算例 |
| 4.4 本章小节 |
| 第五章 结论与展望 |
| 致谢 |
| 参考文献 |
| 作者在学期间取得的学术成果 |
（9）Klein-Gordon方程的紧致辛中点格式（论文提纲范文）
| 1. 引言 |
| 2. 预备知识 |
| 3. 紧致辛中点格式 |
| 4. 格式CSM的数值特性 |
| 5. 数值例子 |
（10）谱变分积分子与刚体几何控制（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 课题背景及研究意义 |
| 1.2 课题的研究现状 |
| 1.3 预备知识 |
| 1.3.1 微分流形简介 |
| 1.3.2 计算几何力学基础 |
| 1.3.3 Galerkin方法和谱方法简介 |
| 1.4 本文的主要研究内容 |
| 第2章 Galerkin谱变分积分子 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 一般性Galerkin变分积分子的构造 |
| 2.3 Lagrange力学系统谱变分积分子和谱配点格式的构造 |
| 2.3.1 谱变分积分子数值格式的构造 |
| 2.3.2 谱配点法数值格式的构造 |
| 2.4 Galerkin谱变分积分子的阶数和几何收敛性 |
| 2.5 数值算例 |
| 2.5.1 谐振子 |
| 2.5.2 Kepler两体问题 |
| 2.6 本章小结 |
| 第3章 Hamilton波动方程的谱变分积分子 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 Hamilton波动方程的半离散方法 |
| 3.2.1 对称有限差分半离散 |
| 3.2.2 谱配点半离散 |
| 3.3 波动方程的Galerkin谱变分积分子 |
| 3.3.1 精确离散Lagrange泛函的逼近 |
| 3.3.2 高维Hamilton常微分方程的谱变分积分子算法实现 |
| 3.3.3 误差估计 |
| 3.4 数值算例 |
| 3.4.1 线性波动方程 |
| 3.4.2 sine-Gordon方程 |
| 3.5 本章小结 |
| 第4章 谱配点变分积分子 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 谱配点变分积分子的构造 |
| 4.3 谱配点变分积分子的阶数和几何收敛性 |
| 4.4 谱配点变分积分子的算法实现 |
| 4.4.1 谱配点法和数值积分公式的选择 |
| 4.4.2 算法构造和实现 |
| 4.5 数值算例 |
| 4.5.1 单摆 |
| 4.5.2 Kepler两体问题 |
| 4.6 本章小结 |
| 第5章 刚体动力学与几何控制问题的Lie群谱方法 |
| 5.1 引言 |
| 5.1.1 几何建模 |
| 5.1.2 几何非线性控制 |
| 5.1.3 几何数值积分 |
| 5.2 微分流形上的谱配点算法 |
| 5.2.1 正则坐标系 |
| 5.2.2 Lie群谱算法构造 |
| 5.3 数值算例 |
| 5.3.1 三维摆动力学 |
| 5.3.2 欠驱动卫星自旋稳定 |
| 5.4 本章小结 |
| 结论 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间发表的论文及其他成果 |
| 致谢 |
| 个人简历 |
四、非线性波方程的多辛五点格式（论文参考文献）
- [1]几类非线性偏微分方程的高精度有限差分格式研究[D]. 何育宇. 闽南师范大学, 2021(12)
- [2]几类分数阶偏微分方程的守恒数值方法[D]. 石瑶. 哈尔滨工业大学, 2020
- [3]基于符号计算的非线性发展方程多种精确解及可积性研究[D]. 花艳菲. 北京交通大学, 2020(03)
- [4]基于特征线差分法的水下爆炸近场非等熵流研究[D]. 杨晨琛. 大连理工大学, 2019(01)
- [5]基于时（-空联合）辛结构理论的若干动力学问题研究[D]. 尹婷婷. 西北工业大学, 2018
- [6]几类波传播偏微分方程有效数值方法研究[D]. 王博. 山东大学, 2018(11)
- [7]高阶精度数值方法及其在复杂流动中的应用[D]. 廖飞. 西北工业大学, 2018(02)
- [8]共形Hamilton系统的若干保结构算法研究[D]. 傅浩. 国防科技大学, 2018(02)
- [9]Klein-Gordon方程的紧致辛中点格式[J]. 尹秀玲,张静静,刘艳芹,郑晓彤. 数值计算与计算机应用, 2017(04)
- [10]谱变分积分子与刚体几何控制[D]. 李益群. 哈尔滨工业大学, 2017(01)